Lembrete didático (sem pular etapas): para provar que um conjunto B de vetores é uma base de um espaço vetorial, precisamos mostrar duas coisas equivalentes:
que os vetores de B são linearmente independentes e geram o espaço; ou
quando o espaço tem dimensão n e B tem n vetores, basta mostrar que são linearmente independentes (ou que geram o espaço).
Aqui a dimensão de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é 4, porque uma base canônica é \{1,x,x^{2},x^{3}\} (quatro polinômios independentes que geram todos os polinômios de grau ≤ 3). Como B tem exatamente quatro elementos, basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que B é uma base.
Explicação curta sobre linear independência: um conjunto \{u_1,\dots,u_m\} é linearmente independente se a única solução do sistema
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{m}=0. Na prática, representamos os vetores em coordenadas (aqui, em relação à base \{1,x,x^2,x^3\}) e verificamos se as colunas formam uma matriz com determinante não nulo (ou verificamos linearmente por eliminação).
Passo 3
Vamos escrever cada polinômio de B como vetor de coordenadas na base canônica \{1,x,x^{2},x^{3}\}. Coeficientes em ordem (\text{constante},\; x,\; x^{2},\; x^{3}):
Observação sobre a matriz A: ela é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal principal de A é 1,\;1,\;-1,\;-1.
Como \det(A)=1\neq 0, as colunas de A são linearmente independentes. Já que temos quatro vetores independentes no espaço de dimensão quatro, eles formam uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Conclusão da parte (a): B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Passo 5
Agora parte (b): queremos o vetor de coordenadas v_{B} de v(x)=3-2x-x^{2} em relação à base B. Isso significa achar escalares a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} tais que
a) B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (pois as colunas da matriz associada têm determinante 1\neq0).\n
b) v_{B}=\begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}