Exercício 37 Considere o conjunto B=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\right\} onde
p_{1}(x)=1, \quad p_{2}(x)=1+x, \quad p_{3}(x)=1-x^{2} \quad \text { e } \quad p_{4}(x)=1-x-x^{2}-x^{3}
a) Mostre que B é uma base para o espaço vetorial \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
b) Encontre o vetor de coordenadas v_{B} do polinômio v=3-2 x-x^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto B=\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\} com
p_{1}(x)=1,\quad p_{2}(x)=1+x,\quad p_{3}(x)=1-x^{2},\quad p_{4}(x)=1-x-x^{2}-x^{3}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que B é uma base do espaço vetorial \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
  2. Encontrar o vetor de coordenadas v_{B} do polinômio v(x)=3-2x-x^{2} em relação à base B.
Informações relevantes dadas no enunciado:
p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\\ \text{(explicitados acima)}\quad\text{e}\quad v(x)=3-2x-x^{2}.
Nada mais é exigido além dessas duas tarefas.

Passo 2

Lembrete didático (sem pular etapas): para provar que um conjunto B de vetores é uma base de um espaço vetorial, precisamos mostrar duas coisas equivalentes:
  • que os vetores de B são linearmente independentes e geram o espaço; ou
  • quando o espaço tem dimensão n e B tem n vetores, basta mostrar que são linearmente independentes (ou que geram o espaço).
Aqui a dimensão de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é 4, porque uma base canônica é \{1,x,x^{2},x^{3}\} (quatro polinômios independentes que geram todos os polinômios de grau ≤ 3). Como B tem exatamente quatro elementos, basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que B é uma base.
Explicação curta sobre linear independência: um conjunto \{u_1,\dots,u_m\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\cdots+\alpha_{m}u_{m}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{m}=0. Na prática, representamos os vetores em coordenadas (aqui, em relação à base \{1,x,x^2,x^3\}) e verificamos se as colunas formam uma matriz com determinante não nulo (ou verificamos linearmente por eliminação).

Passo 3

Vamos escrever cada polinômio de B como vetor de coordenadas na base canônica \{1,x,x^{2},x^{3}\}. Coeficientes em ordem (\text{constante},\; x,\; x^{2},\; x^{3}):
p_{1}(x)=1 \longrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad p_{2}(x)=1+x \longrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
p_{3}(x)=1-x^{2} \longrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad p_{4}(x)=1-x-x^{2}-x^{3} \longrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}.
Formamos a matriz A cujas colunas são essas coordenadas (coluna j corresponde a p_j):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observação sobre a matriz A: ela é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal principal de A é 1,\;1,\;-1,\;-1.
Calculemos o determinante:
\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot (-1)=1\cdot 1\cdot 1 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, as colunas de A são linearmente independentes. Já que temos quatro vetores independentes no espaço de dimensão quatro, eles formam uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Conclusão da parte (a): B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 5

Agora parte (b): queremos o vetor de coordenadas v_{B} de v(x)=3-2x-x^{2} em relação à base B. Isso significa achar escalares a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} tais que
a_{1}p_{1}(x)+a_{2}p_{2}(x)+a_{3}p_{3}(x)+a_{4}p_{4}(x)=v(x)
para todo x. Em termos de coordenadas na base canônica, isto é resolver a equação matricial
A\begin{pmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\a_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},
pois v(x)=3-2x-1x^{2}+0\cdot x^{3} corresponde ao vetor à direita.

Passo 6

Vamos resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\a_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Por ser triangular, resolvemos por substituição regressiva (back-substitution), começando pela última equação (linha 4).
Linha 4: -1\cdot a_{4}=0. Portanto
a_{4}=0.]

Passo 7

Linha 3: -1\cdot a_{3} + (-1)\cdot a_{4} = -1. Substituindo a_{4}=0:
- a_{3} = -1 \quad\Rightarrow\quad a_{3}=1.

Passo 8

Linha 2: 1\cdot a_{2} + (-1)\cdot a_{4} = -2. Substituindo a_{4}=0:
a_{2} = -2.

Passo 9

Linha 1: a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=3. Substituindo os valores já encontrados a_{2}=-2,\;a_{3}=1,\;a_{4}=0:
a_{1} -2 +1 +0 = 3 \quad\Rightarrow\quad a_{1}-1=3 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=4.

Passo 10

Assim encontramos os coeficientes:
a_{1}=4,\quad a_{2}=-2,\quad a_{3}=1,\quad a_{4}=0.
Portanto o vetor de coordenadas de v em relação a B é
v_{B}=\begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

a) B é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (pois as colunas da matriz associada têm determinante 1\neq0).\n
b) v_{B}=\begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}

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