Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão 3 do espaço vetorial \mathbb{R}^{4}. Considerando que
U \cap W=[(1,2,1,0),(-1,1,0,1),(1,5,2,1)] .
Qual é a dimensão do subespaço U+W ?

Passo 1

O enunciado dá que U e W são subespaços de \mathbb{R}^{4} com \dim(U)=3 e \dim(W)=3. Foi informado também que
U\cap W = \operatorname{span}\{(1,2,1,0),\,(-1,1,0,1),\,(1,5,2,1)\}.
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço U+W ?

Passo 2

Vamos usar a fórmula clássica para a dimensão da soma de subespaços. A fórmula é
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Aqui \dim(U) e \dim(W) já são 3. Portanto, para encontrar \dim(U+W) precisamos calcular \dim(U\cap W), ou seja, a dimensão do subespaço gerado pelos três vetores dados.

Passo 3

Denotemos os vetores do gerador por
v_1=(1,2,1,0),\quad v_2=(-1,1,0,1),\quad v_3=(1,5,2,1).
Queremos achar a dimensão do espaço \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Isso equivale a determinar quantos desses vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Procuramos relações de dependência linear entre v_1,v_2,v_3. Teste simples: calcule 2v_1+v_2:
2v_1+v_2 = 2(1,2,1,0)+(-1,1,0,1).
Fazendo componente a componente:
2v_1+v_2 = (2\cdot1-1,\;2\cdot2+1,\;2\cdot1+0,\;2\cdot0+1)=(1,5,2,1).
Como o lado direito é exatamente v_3, temos a relação
v_3 = 2v_1+v_2.
Logo v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, portanto os três vetores são linearmente dependentes e o posto (número de vetores independentes) é no máximo 2.

Passo 5

Agora verificamos que v_1 e v_2 são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,b tais que
a v_1 + b v_2 = 0.
Escrevendo por componentes:
a(1,2,1,0)+b(-1,1,0,1)=(0,0,0,0).
Da componente 4 vem 0\cdot a + 1\cdot b = 0, ou seja b=0. Substituindo b=0 na componente 1 temos a\cdot1 + 0\cdot(-1)=0, logo a=0. Assim a=b=0 é a única solução, o que prova que v_1 e v_2 são independentes.

Passo 6

Comprovado que há exatamente dois vetores linearmente independentes entre os três, concluímos que
\dim(U\cap W)=2.

Passo 7

Aplicando a fórmula da Passo 2:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=3+3-2=4.
Observe que o resultado faz sentido pois o espaço ambiente \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, então a soma não pode ter dimensão maior que 4. Aqui obtemos exatamente 4, ou seja U+W=\mathbb{R}^4.

Resposta

4

Exercícios relacionados