Sejam
e
subespaços vetoriais de dimensão 3 do espaço vetorial
. Considerando que
Qual é a dimensão do subespaço
?
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subespaços de
com
e
. Foi informado também que
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço
?
Passo 2
Vamos usar a fórmula clássica para a dimensão da soma de subespaços. A fórmula é
Aqui
e
já são
. Portanto, para encontrar
precisamos calcular
, ou seja, a dimensão do subespaço gerado pelos três vetores dados.
Passo 3
Denotemos os vetores do gerador por
Queremos achar a dimensão do espaço
. Isso equivale a determinar quantos desses vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Procuramos relações de dependência linear entre
. Teste simples: calcule
:
Fazendo componente a componente:
Como o lado direito é exatamente
, temos a relação
Logo
é combinação linear de
e
, portanto os três vetores são linearmente dependentes e o posto (número de vetores independentes) é no máximo
.
Passo 5
Agora verificamos que
e
são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo por componentes:
Da componente 4 vem
, ou seja
. Substituindo
na componente 1 temos
, logo
. Assim
é a única solução, o que prova que
e
são independentes.
Passo 6
Comprovado que há exatamente dois vetores linearmente independentes entre os três, concluímos que
Passo 7
Aplicando a fórmula da Passo 2:
Observe que o resultado faz sentido pois o espaço ambiente
tem dimensão
, então a soma não pode ter dimensão maior que
. Aqui obtemos exatamente
, ou seja
.