(2.0) Considere B=\left\{2 x, 1+x^{2}, 3+x\right\} e C=\left\{-1+2 x, 3 x^{2},-x-x^{2}\right\} bases do espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}).
(a) Determine P_{B C} (matriz mudança da base B para base C ).
(b) Determine P_{C B} (matriz mudança da base C para base B ).

Passo 1

O enunciado dá duas bases do espaço de polinômios de grau ≤ 2, P_{2}(\mathbb{R}):
B=\{\,2x,\;1+x^{2},\;3+x\,\},\qquad C=\{\, -1+2x,\;3x^{2},\;-x-x^{2}\,\}.
Pede-se:
(a) a matriz de mudança de base de B para C, chamada P_{BC};
(b) a matriz de mudança de base de C para B, chamada P_{CB}.
Informações relevantes dadas: os três vetores de B e os três vetores de C. Cada polinômio pode ser escrito em coordenadas na base canônica \{1,x,x^{2}\} (coeficientes do termo constante, do termo x e do termo x^{2}). A resolução começará a partir dessas informações.

Passo 2

Ideia prática (explicação didática): para achar P_{BC} precisamos, para cada vetor da base B, encontrar suas coordenadas em relação à base C. Uma maneira elegante é usar a base canônica E=\{1,x,x^{2}\} e montar as matrizes cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B e de C em E. Se [C]_E é a matriz cujas colunas são as coordenadas de cada vetor de C na base canônica, e [B]_E análogo para B, então, para um polinômio v,
[v]_E = [C]_E\,[v]_C,
portanto
[v]_C = [C]_E^{-1}[v]_E.
Assim, as colunas de P_{BC} são justamente [b_j]_C = [C]_E^{-1}[b_j]_E. Logo a fórmula prática:
P_{BC} = [C]_E^{-1}\,[B]_E.
Também P_{CB}=[B]_E^{-1}[C]_E ou, mais direto na prática, podemos calcular P_{CB} expressando cada vetor de C como combinação linear dos vetores de B.

Passo 3

Vamos escrever as coordenadas dos vetores de B e C na base canônica E=\{1,x,x^{2}\}.
Para B:
2x \mapsto \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad 1+x^{2} \mapsto \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad 3+x \mapsto \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
[B]_E=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Para C:
-1+2x \mapsto \begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad 3x^{2} \mapsto \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad - x - x^{2} \mapsto \begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Portanto
[C]_E=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos calcular [C]_E^{-1}. Vou fazer passo a passo usando cofactores (matriz adjunta), para que fique claro como inverter sem pular etapas.
Seja A=[C]_E:
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Determinante de A: expandindo pela primeira linha,
\det(A) = -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} = -1\big(0\cdot(-1)-(-1)\cdot 3\big)= -1\cdot 3 = -3.
Agora os menores e cofatores (mostro os resultados principais):
Matriz de cofatores (cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}) resulta em
\text{cof}(A)=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 6 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)= -\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplicamos A^{-1}=[C]_E^{-1} por [B]_E para obter P_{BC}:
P_{BC} = [C]_E^{-1}[B]_E = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Faço o produto coluna a coluna (cada coluna resultante é [b_j]_C):
  • Para b_1=2x (coluna \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}):
[C]_E^{-1}\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] -\tfrac{2}{3}\\[4pt] -2 \end{pmatrix}.
  • Para b_2=1+x^{2} (coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}):
[C]_E^{-1}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\[4pt] -\tfrac{1}{3}\\[4pt] -2 \end{pmatrix}.
  • Para b_3=3+x (coluna \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}):
[C]_E^{-1}\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\[4pt] -\tfrac{7}{3}\\[4pt] -7 \end{pmatrix}.
Assim
P_{BC}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3}\\[6pt] -2 & -2 & -7 \end{pmatrix},
onde cada coluna é a coordenada de b_1,b_2,b_3 na base C.]

Passo 6

Agora vamos determinar P_{CB}. Vou fazer de forma direta e didática: expressar cada vetor de C como combinação linear dos vetores de B,
\text{para }c\in C,\quad c = \alpha\,b_1 + \beta\,b_2 + \gamma\,b_3,
e resolver para \alpha,\beta,\gamma. Lembro que b_1=2x, b_2=1+x^{2}, b_3=3+x. Igualando coeficientes em 1,x,x^{2} obtemos um sistema linear fácil de resolver.
  1. Para c_1=-1+2x:
    igualando coeficientes:
    constante: \beta+3\gamma=-1.
    x: 2\alpha+\gamma=2.
    x^{2}: \beta=0.
    Daí \beta=0, \gamma=-\tfrac{1}{3}, \alpha=\tfrac{7}{6}.
Logo a primeira coluna de P_{CB} é \begin{pmatrix}\tfrac{7}{6}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
  1. Para c_2=3x^{2}:
    coeficientes:
    \beta+3\gamma=0,
    2\alpha+\gamma=0,
    \beta=3.
    Daí \beta=3, \gamma=-1, \alpha=\tfrac{1}{2}.
Segunda coluna: \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  1. Para c_3=-x-x^{2}:
    coeficientes:
    \beta+3\gamma=0,
    2\alpha+\gamma=-1,
    \beta=-1.
    Daí \beta=-1, \gamma=\tfrac{1}{3}, \alpha=-\tfrac{2}{3}.
Terceira coluna: \begin{pmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[4pt]-1\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Portanto
P_{CB}= \begin{pmatrix} \tfrac{7}{6} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] 0 & 3 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (importante para prova): P_{BC} e P_{CB} devem ser inversas uma da outra. Se multiplicarmos P_{BC}P_{CB} obtemos a matriz identidade I_{3}. (Fiz a verificação dos produtos coluna a coluna e confirmam P_{BC}P_{CB}=I_3.) Isso confirma que as duas matrizes encontradas estão corretas.

Resposta

P_{BC}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & -3\\[6pt] -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{7}{3}\\[6pt] -2 & -2 & -7 \end{pmatrix}
P_{CB}= \begin{pmatrix} \tfrac{7}{6} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{2}{3}\\[6pt] 0 & 3 & -1\\[6pt] -\tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

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