(2.0) Considere B=\left\{2 x, 1+x^{2}, 3+x\right\} e C=\left\{-1+2 x, 3 x^{2},-x-x^{2}\right\} bases do espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}).
(a) Determine P_{B C} (matriz mudança da base B para base C ).
(b) Determine P_{C B} (matriz mudança da base C para base B ).
Passo 1
O enunciado dá duas bases do espaço de polinômios de grau ≤ 2, P_{2}(\mathbb{R}):
Pede-se:
(a) a matriz de mudança de base de B para C, chamada P_{BC};
(b) a matriz de mudança de base de C para B, chamada P_{CB}.
Informações relevantes dadas: os três vetores de B e os três vetores de C. Cada polinômio pode ser escrito em coordenadas na base canônica \{1,x,x^{2}\} (coeficientes do termo constante, do termo x e do termo x^{2}). A resolução começará a partir dessas informações.
Passo 2
Ideia prática (explicação didática): para achar P_{BC} precisamos, para cada vetor da base B, encontrar suas coordenadas em relação à base C. Uma maneira elegante é usar a base canônica E=\{1,x,x^{2}\} e montar as matrizes cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B e de C em E. Se [C]_E é a matriz cujas colunas são as coordenadas de cada vetor de C na base canônica, e [B]_E análogo para B, então, para um polinômio v,
[v]_E = [C]_E\,[v]_C,
portanto
[v]_C = [C]_E^{-1}[v]_E.
Assim, as colunas de P_{BC} são justamente [b_j]_C = [C]_E^{-1}[b_j]_E. Logo a fórmula prática:
P_{BC} = [C]_E^{-1}\,[B]_E.
Também P_{CB}=[B]_E^{-1}[C]_E ou, mais direto na prática, podemos calcular P_{CB} expressando cada vetor de C como combinação linear dos vetores de B.
Passo 3
Vamos escrever as coordenadas dos vetores de B e C na base canônica E=\{1,x,x^{2}\}.
onde cada coluna é a coordenada de b_1,b_2,b_3 na base C.]
Passo 6
Agora vamos determinar P_{CB}. Vou fazer de forma direta e didática: expressar cada vetor de C como combinação linear dos vetores de B,
\text{para }c\in C,\quad c = \alpha\,b_1 + \beta\,b_2 + \gamma\,b_3,
e resolver para \alpha,\beta,\gamma. Lembro que b_1=2x, b_2=1+x^{2}, b_3=3+x. Igualando coeficientes em 1,x,x^{2} obtemos um sistema linear fácil de resolver.
Verificação rápida (importante para prova): P_{BC} e P_{CB} devem ser inversas uma da outra. Se multiplicarmos P_{BC}P_{CB} obtemos a matriz identidade I_{3}. (Fiz a verificação dos produtos coluna a coluna e confirmam P_{BC}P_{CB}=I_3.) Isso confirma que as duas matrizes encontradas estão corretas.