Verifique se (
) é um subcorpo de (
) em cada um dos seguintes casos:
(OBS.:
é um subcorpo de
quando ambos são corpos e
)
a)
(OBS.:
a)
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se
é um subcorpo (subcampo) de
.
Informações dadas: .
O que precisamos checar (lista de condições relevantes para um subcorpo): ;
e
; fechamento de
por soma e por produto; existência de inverso aditivo para todo elemento de
; existência de inverso multiplicativo para todo elemento não nulo de
.
A resolução começa a partir do próximo passo.
Informações dadas:
O que precisamos checar (lista de condições relevantes para um subcorpo):
A resolução começa a partir do próximo passo.
Passo 2
Verificar que
e que
e
pertencem a
.
Explicação: para quaisquer
temos
é um número real (pois
e combinações lineares com coeficientes inteiros são reais). Logo
.
Verificar
e
: escrevemos
Portanto
e
estão em
.
Passo 3
Fechamento de
por soma.
Sejam dois elementos quaisquer de
,
e
com
. Então
Como
e
, o resultado pertence a
. Assim
é fechado por soma.
Passo 4
Fechamento de
por produto e existência de inverso aditivo.
Produto: usando os mesmos
e
do passo anterior,
Aqui
e
, logo
. Assim
é fechado por produto.
Inverso aditivo: para
temos
pois
. Logo todo elemento tem inverso aditivo em
.
Até aqui
contém
e é fechado por soma, produto e por inverso aditivo — ou seja, é pelo menos um subanel de
. Falta verificar inversos multiplicativos.
Passo 5
Analisar existência de inversos multiplicativos em
.
Tomemos um elemento não nulo geral
com
e não ambos zero. Para encontrar
racionalizamos pelo conjugado
:
Então
Para que esse inverso pertença a
é preciso que ambos coeficientes
e
sejam inteiros (pois em
os coeficientes têm de ser inteiros). Em geral isso não ocorre: o denominador
é um inteiro que normalmente não divide
e
simultaneamente, então os coeficientes ficam fracionários.
Exemplo concreto (contraexemplo): peguemos
(aqui
,
). Então
e
Os coeficientes são
e
, que não são inteiros; portanto
. Assim
não contém o inverso multiplicativo de
.
Passo 6
Conclusão lógica: como existe pelo menos um elemento não nulo de
cujo inverso multiplicativo não pertence a
(por exemplo
),
não é fechado sob inversos multiplicativos. Portanto
não é um subcorpo de
.
Resposta
Não;
não é subcorpo de
. Por exemplo
.