Verifique se ( S,+, \cdot ) é um subcorpo de ( \mathbb{R},+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
(OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S \subset K )
a) S=\{a+b \sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se S é um subcorpo (subcampo) de \mathbb{R}.
Informações dadas: S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}.
O que precisamos checar (lista de condições relevantes para um subcorpo): \;S\subset\mathbb{R}; 0\in S e 1\in S; fechamento de S por soma e por produto; existência de inverso aditivo para todo elemento de S; existência de inverso multiplicativo para todo elemento não nulo de S.
A resolução começa a partir do próximo passo.

Passo 2

Verificar que S\subset\mathbb{R} e que 0 e 1 pertencem a S.
Explicação: para quaisquer a,b\in\mathbb{Z} temos a+b\sqrt{3} é um número real (pois \sqrt{3}\in\mathbb{R} e combinações lineares com coeficientes inteiros são reais). Logo S\subset\mathbb{R}.
Verificar 0 e 1: escrevemos
0 = 0 + 0\sqrt{3}\in S,
1 = 1 + 0\sqrt{3}\in S.
Portanto 0 e 1 estão em S.

Passo 3

Fechamento de S por soma.
Sejam dois elementos quaisquer de S, x=a+b\sqrt{3} e y=c+d\sqrt{3} com a,b,c,d\in\mathbb{Z}. Então
x+y = (a+c) + (b+d)\sqrt{3}.
Como a+c\in\mathbb{Z} e b+d\in\mathbb{Z}, o resultado pertence a S. Assim S é fechado por soma.

Passo 4

Fechamento de S por produto e existência de inverso aditivo.
Produto: usando os mesmos x e y do passo anterior,
xy = (a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3}) = ac + 3bd + (ad+bc)\sqrt{3}.
Aqui ac+3bd\in\mathbb{Z} e ad+bc\in\mathbb{Z}, logo xy\in S. Assim S é fechado por produto.
Inverso aditivo: para x=a+b\sqrt{3}\in S temos
-x = (-a) + (-b)\sqrt{3}\in S,
pois -a,\,-b\in\mathbb{Z}. Logo todo elemento tem inverso aditivo em S.
Até aqui S contém 0,1 e é fechado por soma, produto e por inverso aditivo — ou seja, é pelo menos um subanel de \mathbb{R}. Falta verificar inversos multiplicativos.

Passo 5

Analisar existência de inversos multiplicativos em S.
Tomemos um elemento não nulo geral x=a+b\sqrt{3} com a,b\in\mathbb{Z} e não ambos zero. Para encontrar x^{-1} racionalizamos pelo conjugado a-b\sqrt{3}:
\frac{1}{a+b\sqrt{3}} = \frac{a-b\sqrt{3}}{(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})} = \frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}.
Então
\frac{1}{a+b\sqrt{3}} = \frac{a}{a^2-3b^2} + \left(\frac{-b}{a^2-3b^2}\right)\sqrt{3}.
Para que esse inverso pertença a S é preciso que ambos coeficientes \dfrac{a}{a^2-3b^2} e \dfrac{-b}{a^2-3b^2} sejam inteiros (pois em S os coeficientes têm de ser inteiros). Em geral isso não ocorre: o denominador a^2-3b^2 é um inteiro que normalmente não divide a e b simultaneamente, então os coeficientes ficam fracionários.
Exemplo concreto (contraexemplo): peguemos x=1+\sqrt{3} (aqui a=1, b=1). Então
a^2-3b^2 = 1-3 = -2,
e
\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{3}.
Os coeficientes são -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}, que não são inteiros; portanto \dfrac{1}{1+\sqrt{3}}\notin S. Assim S não contém o inverso multiplicativo de 1+\sqrt{3}.

Passo 6

Conclusão lógica: como existe pelo menos um elemento não nulo de S cujo inverso multiplicativo não pertence a S (por exemplo 1+\sqrt{3}), S não é fechado sob inversos multiplicativos. Portanto S não é um subcorpo de \mathbb{R}.

Resposta

Não; S não é subcorpo de \mathbb{R}. Por exemplo \dfrac{1}{1+\sqrt{3}}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\notin S.

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