Exercício 37. Uma escola de ensino médio quer avaliar o conhecimento em assuntos gerais dos seus alunos. Para isso, elaborou um quiz e premiará os 3 estudantes com as maiores notas no quiz. Suponha que 23 alunos primeiro ano, 24 do segundo ano e 12 do terceiro ano tenham participado do concurso e determine
(i) a probabilidade de um aluno de cada ano ser premiado;
(ii) a probabilidade dos 3 premiados serem do primeiro ano;
(iii) a probabilidade de nenhum estudante do primeiro ano ser premiado.

Passo 1

O enunciado diz que há 23 alunos do 1º ano, 24 do 2º ano e 12 do 3º ano, totalizando 59 participantes, dos quais serão escolhidos 3 premiados. Vamos usar combinatória, em particular coeficientes binomiais \binom{n}{k}, para calcular probabilidades de certas composições dos 3 premiados.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher 3 premiados entre 59 participantes é
\binom{59}{3}.

Passo 3

(i) Para ter exatamente um premiado de cada ano, escolhemos
\binom{23}{1} formas de pegar 1 do 1º ano,
\binom{24}{1} formas de pegar 1 do 2º ano e
\binom{12}{1} formas de pegar 1 do 3º ano.
Logo,
P(\text{1 de cada ano}) =\frac{\binom{23}{1}\,\binom{24}{1}\,\binom{12}{1}}{\binom{59}{3}}.

Passo 4

(ii) Para que os 3 premiados sejam todos do 1º ano, há
\binom{23}{3} casos favoráveis. Assim,
P(\text{3 do 1º ano}) =\frac{\binom{23}{3}}{\binom{59}{3}}.º

Passo 5

(iii) Para que nenhum premiado seja do 1º ano, escolhemos os 3 entre os 24+12=36 alunos do 2º e 3º anos, isto é,
\binom{36}{3} casos favoráveis. Então,
P(\text{nenhum do 1º ano}) =\frac{\binom{36}{3}}{\binom{59}{3}}.º

Resposta

(i) \displaystyle\frac{\binom{23}{1}\,\binom{24}{1}\,\binom{12}{1}}{\binom{59}{3}}
(ii) \displaystyle\frac{\binom{23}{3}}{\binom{59}{3}}
(iii) \displaystyle\frac{\binom{36}{3}}{\binom{59}{3}}

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