Exercício 37. Uma escola de ensino médio quer avaliar o conhecimento em assuntos gerais dos seus alunos. Para isso, elaborou um quiz e premiará os 3 estudantes com as maiores notas no quiz. Suponha que 23 alunos primeiro ano, 24 do segundo ano e 12 do terceiro ano tenham participado do concurso e determine
(i) a probabilidade de um aluno de cada ano ser premiado;
(ii) a probabilidade dos 3 premiados serem do primeiro ano;
(iii) a probabilidade de nenhum estudante do primeiro ano ser premiado.
(i) a probabilidade de um aluno de cada ano ser premiado;
(ii) a probabilidade dos 3 premiados serem do primeiro ano;
(iii) a probabilidade de nenhum estudante do primeiro ano ser premiado.
Passo 1
O enunciado diz que há
alunos do 1º ano,
do 2º ano e
do 3º ano, totalizando
participantes, dos quais serão escolhidos
premiados. Vamos usar combinatória, em particular coeficientes binomiais
, para calcular probabilidades de certas composições dos
premiados.
Passo 2
O número total de maneiras de escolher
premiados entre
participantes é
Passo 3
(i) Para ter exatamente um premiado de cada ano, escolhemos
formas de pegar
do 1º ano,
formas de pegar
do 2º ano e
formas de pegar
do 3º ano.
Logo,
Logo,
Passo 4
(ii) Para que os
premiados sejam todos do 1º ano, há
casos favoráveis. Assim,
Passo 5
(iii) Para que nenhum premiado seja do 1º ano, escolhemos os
entre os
alunos do 2º e 3º anos, isto é,
casos favoráveis. Então,
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(ii)
(iii)