Exercício 40.
Prove que sen
((2 x)=\frac{2 \operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^{2} x}).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\sin(2x)=\frac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}.
Informações relevantes dadas (e implícitas):
  • Queremos mostrar que duas expressões em x são iguais para os x em que ambas estão definidas.
  • A função \tan x está definida quando \cos x \neq 0. Portanto a prova típica fará sentido para x tal que \cos x\neq0. Em pontos com \cos x=0 o lado direito não existe; o lado esquerdo existe, mas a igualdade só é válida onde ambos os lados existem.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as identidades e definições que vou usar (sem pular etapas):
  • Definição da tangente:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},
onde \sin x e \cos x são seno e cosseno de x, e \cos x\neq0 para que essa fração exista.
  • Identidade pitagórica (fundamental):
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Esta identidade decorre da definição trigonométrica no círculo unitário: coordenadas (\cos x,\sin x) satisfazem \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
  • Fórmula do ângulo duplo para o seno, que pode ser obtida da fórmula da soma:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Tomando a=b=x obtemos a fórmula do dobro:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Vou usar principalmente a definição de \tan x e a identidade pitagórica para transformar o lado direito até chegar em 2\sin x\cos x, que é \sin(2x).

Passo 3

Começo manipulando explicitamente o lado direito da igualdade proposta:
\frac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}.
Substituo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Como toda expressão agora envolve frações, faço a substituição com calma:
\frac{2\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\displaystyle\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}}.

Passo 4

Simplifico a expressão do passo anterior passo a passo. Primeiro escrevo o denominador com denominador comum \cos^{2}x:
1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}=1+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Pelo passo 2, \cos^{2}x+\sin^{2}x=1. Então o denominador fica
\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Agora volto à fração original usando esse resultado:
\frac{2\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}}{\,\dfrac{1}{\cos^{2}x}\,}.
Dividir por \dfrac{1}{\cos^{2}x} é o mesmo que multiplicar por \cos^{2}x. Então:
\frac{2\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}}{\,\dfrac{1}{\cos^{2}x}\,} =2\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos^{2}x.
Cancelando um fator \cos x (pois \cos x\neq0 no domínio considerado) obtemos
2\sin x\cos x.

Passo 5

Pelo passo 2 já sabemos que \sin(2x)=2\sin x\cos x. Portanto a expressão que obtivemos no passo anterior é exatamente \sin(2x). Reunindo:
\frac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}=2\sin x\cos x=\sin(2x),
valendo para todo x com \cos x\neq0 (onde \tan x está definida). Assim a identidade está provada.

Resposta

\sin(2x)=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}

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