Exercício 40.
Prove que sen
((2 x)=\frac{2 \operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^{2} x}).
Prove que sen
((2 x)=\frac{2 \operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^{2} x}).
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
Informações relevantes dadas (e implícitas):
- Queremos mostrar que duas expressões em
são iguais para os em que ambas estão definidas. - A função
está definida quando . Portanto a prova típica fará sentido para tal que . Em pontos com o lado direito não existe; o lado esquerdo existe, mas a igualdade só é válida onde ambos os lados existem.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as identidades e definições que vou usar (sem pular etapas):
- Definição da tangente:
onde
e
são seno e cosseno de
, e
para que essa fração exista.
- Identidade pitagórica (fundamental):
Esta identidade decorre da definição trigonométrica no círculo unitário: coordenadas
satisfazem
.
- Fórmula do ângulo duplo para o seno, que pode ser obtida da fórmula da soma:
Tomando
obtemos a fórmula do dobro:
Vou usar principalmente a definição de
e a identidade pitagórica para transformar o lado direito até chegar em
, que é
.
Passo 3
Começo manipulando explicitamente o lado direito da igualdade proposta:
Substituo
. Como toda expressão agora envolve frações, faço a substituição com calma:
Passo 4
Simplifico a expressão do passo anterior passo a passo. Primeiro escrevo o denominador com denominador comum
:
Pelo passo 2,
. Então o denominador fica
Agora volto à fração original usando esse resultado:
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Então:
Cancelando um fator
(pois
no domínio considerado) obtemos
Passo 5
Pelo passo 2 já sabemos que
. Portanto a expressão que obtivemos no passo anterior é exatamente
. Reunindo:
valendo para todo
com
(onde
está definida). Assim a identidade está provada.