Exercício 35 (Escada apoiada na parede). Uma escada de 5 m apoia-se na parede; o pé desliza afastando-se a
. Determine a velocidade vertical
do topo quando o pé está a
da parede.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade vertical do topo da escada, isto é,
, no instante em que o pé da escada está a
da parede. As informações dadas são:
Passo 2
Vamos definir claramente as variáveis que usamos (isso ajuda na prova, sempre comece assim):
ambas funções do tempo
. A escada, o chão e a parede formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento fixo
. Pelo teorema de Pitágoras temos a relação entre
e
:
Explicação rápida do porquê: em qualquer instante o triângulo tem catetos de comprimentos
e
e hipotenusa
, então
.
Passo 3
Precisamos de como
e
mudam com o tempo, então diferenciamos a relação
em relação a
. Ao diferenciar, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
porque
depende de
. De forma análoga para
. A derivada do lado direito, constante
, é zero. Então:
Aqui expliquei passo a passo: a presença de
e
aparece porque
e
são funções de
.
Passo 4
Isolamos
na equação obtida. Primeiro divida por
:
Agora resolvemos para
:
Isto é uma fórmula prática: para este tipo de problema de escada apoiada,
é
vezes
.
Passo 5
Agora precisamos do valor de
quando
. Usamos a relação do Passo 2:
Escolhemos a raiz positiva porque
representa altura (não faz sentido físico altura negativa aqui).
Passo 6
Substituímos
,
e
na fórmula do Passo 4:
Agora a aritmética, passo a passo:
Portanto
Passo 7
Interpretação física e unidades: o sinal negativo indica que a altura
está diminuindo — o topo da escada está deslizando para baixo — com velocidade de
. A unidade é
como era de esperar. Boa notícia: fizemos tudo com contas simples que você pode reproduzir na prova rapidamente.