Exercício 35 (Escada apoiada na parede). Uma escada de 5 m apoia-se na parede; o pé desliza afastando-se a d x / d t=0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a velocidade vertical d y / d t do topo quando o pé está a x=3 \mathrm{~m} da parede.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade vertical do topo da escada, isto é, d y / d t, no instante em que o pé da escada está a x=3\\ \mathrm{m} da parede. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{Comprimento da escada (constante)}:\\\ 5\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Velocidade do pé da escada (horizontal)}:\\ \frac{d x}{d t}=0,6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\\ (\text{afastando-se da parede}).\\\ &\text{Posição horizontal no instante pedido}:\\ x=3\\ \mathrm{m}. \end{aligned}éçã

Passo 2

Vamos definir claramente as variáveis que usamos (isso ajuda na prova, sempre comece assim):
x(t)\\ \text{é a distância horizontal do pé da escada até a parede},éâéé
y(t)\\ \text{é a altura do topo da escada em relação ao chão},éçãã
ambas funções do tempo t. A escada, o chão e a parede formam um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento fixo 5\\ \mathrm{m}. Pelo teorema de Pitágoras temos a relação entre x e y:
x^2+y^2=5^2=25.
Explicação rápida do porquê: em qualquer instante o triângulo tem catetos de comprimentos x e y e hipotenusa 5, então x^2+y^2=5^2.

Passo 3

Precisamos de como x e y mudam com o tempo, então diferenciamos a relação x^2+y^2=25 em relação a t. Ao diferenciar, usamos a regra da cadeia: a derivada de x^2 em relação a t é 2x\cdot \dfrac{d x}{d t} porque x depende de t. De forma análoga para y^2. A derivada do lado direito, constante 25, é zero. Então:
\frac{d}{dt}(x^2+y^2)=\frac{d}{dt}(25)
\Rightarrow 2x\frac{d x}{d t}+2y\frac{d y}{d t}=0.
Aqui expliquei passo a passo: a presença de \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} aparece porque x e y são funções de t.

Passo 4

Isolamos \dfrac{d y}{d t} na equação obtida. Primeiro divida por 2:
x\frac{d x}{d t}+y\frac{d y}{d t}=0.
Agora resolvemos para \dfrac{d y}{d t}:
y\frac{d y}{d t}=-x\frac{d x}{d t}
\Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{x}{y}\frac{d x}{d t}.
Isto é uma fórmula prática: para este tipo de problema de escada apoiada, \dfrac{dy}{dt} é -\dfrac{x}{y} vezes \dfrac{dx}{dt}.

Passo 5

Agora precisamos do valor de y quando x=3\\ \mathrm{m}. Usamos a relação do Passo 2:
y=\sqrt{25-x^2}=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\\ \mathrm{m}.
Escolhemos a raiz positiva porque y representa altura (não faz sentido físico altura negativa aqui).

Passo 6

Substituímos x=3, y=4 e \dfrac{d x}{d t}=0,6\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} na fórmula do Passo 4:
\frac{d y}{d t}=-\frac{x}{y}\frac{d x}{d t}=-\frac{3}{4}\cdot 0,6.
Agora a aritmética, passo a passo:
\frac{3}{4}\cdot 0,6=\frac{3\cdot 0,6}{4}=\frac{1,8}{4}=0,45.
Portanto
\frac{d y}{d t}=-0,45\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação física e unidades: o sinal negativo indica que a altura y está diminuindo — o topo da escada está deslizando para baixo — com velocidade de 0,45\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. A unidade é \mathrm{m}/\mathrm{s} como era de esperar. Boa notícia: fizemos tudo com contas simples que você pode reproduzir na prova rapidamente.

Resposta

-0,45\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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