Exercício 37 Resolva o sistema pelo método do escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\ 2 x-y+z=3 \\ x+2 y-z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas e pede para resolvê‑lo. As equações são:
\begin{cases} x+y+z=6,\\[4pt] 2x-y+z=3,\\[4pt] x+2y-z=3. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que simultaneamente satisfazem as três equações.]

Passo 2

Antes de começar a manipular, vou explicar de forma simples a ideia que vou aplicar (passo a passo): usamos operações entre equações que não alteram o conjunto de soluções para transformar o sistema numa forma escalonada (triangular superior), onde a terceira equação depende de apenas uma incógnita, a segunda de duas, e a primeira de três. As operações permitidas (elementares) são:
  • somar a uma equação um múltiplo de outra equação;
  • trocar duas equações de posição;
  • multiplicar uma equação por um escalar não nulo.
Chamamos de “pivô” o coeficiente escolhido numa linha para eliminar as incógnitas nas linhas abaixo. Depois de obter uma matriz escalonada, usa‑se substituição regressiva (back‑substitution) para achar as incógnitas.
Vou aplicar essas operações explicando cada conta para que você consiga reproduzir na prova.

Passo 3

Escrevo o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar as operações (cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Escolho o coeficiente [,1) da primeira linha (coluna de x) como primeiro pivô. Vou eliminar a incógnita x das linhas 2 e 3 usando a primeira linha.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculo detalhado para R_2:
\begin{cases} 2 - 2\cdot 1 = 0,\\[4pt] -1 - 2\cdot 1 = -1 - 2 = -3,\\[4pt] 1 - 2\cdot 1 = 1 - 2 = -1,\\[4pt] 3 - 2\cdot 6 = 3 - 12 = -9. \end{cases}
Logo R_2\] vira \[[0\\\ -3\\\ -1\\ | -9].
Cálculo detalhado para R_3:
\begin{cases} 1 - 1 = 0,\\[4pt] 2 - 1 = 1,\\[4pt] -1 - 1 = -2,\\[4pt] 3 - 6 = -3. \end{cases}
Logo R_3\] vira \([0\\\ 1\\\ -2\\ | -3].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora o pivô natural da segunda coluna seria -3 na segunda linha, mas é mais simples trabalhar com um coeficiente 1. Posso trocar as linhas R_2 e R_3 (operação permitida) para ter um pivô igual a 1.
Operação:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Após a troca a matriz é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -3\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -9 \end{array}\right].
Explicação: trocar linhas não muda as soluções; só facilita as contas porque o pivô 1 é conveniente.]

Passo 6

Com pivô [1) na posição (2,2), elimino o coeficiente -3 na linha 3 (coluna de y) usando R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Calculemos:
\begin{cases} 0 + 3\cdot 0 = 0,\\[4pt] -3 + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0,\\[4pt] -1 + 3\cdot(-2) = -1 - 6 = -7,\\[4pt] -9 + 3\cdot(-3) = -9 - 9 = -18. \end{cases}
Portanto R_3\] vira \([0\\\ 0\\\ -7\\ | -18].
A matriz agora está em forma escalonada (triangular superior):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -7 & -18 \end{array}\right].]

Passo 7

A partir da última linha obtemos imediatamente a equação em uma incógnita:
-7z = -18.
Resolvendo:
z = \frac{-18}{-7} = \frac{18}{7}.

Passo 8

Agora use a segunda linha para encontrar y. A segunda linha corresponde a:
y - 2z = -3.
Substituo z=\dfrac{18}{7}:
y - 2\cdot\frac{18}{7} = -3.
Calculo 2\cdot \dfrac{18}{7} = \dfrac{36}{7}. Então
y = -3 + \frac{36}{7}.
Escrevendo -3 como -\dfrac{21}{7} para somar frações:
y = -\frac{21}{7} + \frac{36}{7} = \frac{15}{7}.

Passo 9

Por fim, uso a primeira linha para encontrar x. A primeira linha é:
x + y + z = 6.
Substituo y=\dfrac{15}{7} e z=\dfrac{18}{7}:
x = 6 - \frac{15}{7} - \frac{18}{7}.
Some as frações:
\frac{15}{7} + \frac{18}{7} = \frac{33}{7}.
Escrevo 6 como \dfrac{42}{7}:
x = \frac{42}{7} - \frac{33}{7} = \frac{9}{7}.

Passo 10

Verificação rápida (substituir na primeira equação, por exemplo):
x+y+z = \frac{9}{7} + \frac{15}{7} + \frac{18}{7} = \frac{42}{7} = 6,
coincide com o lado direito. Pode-se verificar analogamente nas outras equações se quiser. Tudo bate.

Resposta

\displaystyle x=\frac{9}{7}
\displaystyle y=\frac{15}{7}
\displaystyle z=\frac{18}{7}

Exercícios relacionados