Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{4 x-x^{2}}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
f(x)=\frac{4x-x^{2}}{x^{2}+4}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{numerador }u(x)=4x-x^{2}, \qquad \text{denominador }v(x)=x^{2}+4.
Observação útil: v(x)=x^{2}+4>0 para todo x\in\mathbb{R}, então a função está definida em toda a reta real (não temos pontos de descontinuidade por divisão por zero). A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente para derivar uma razão de funções. A regra do quociente diz o seguinte:
Se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Explicando a fórmula de forma bem didática:
  • u'(x) é a derivada do numerador;
  • v'(x) é a derivada do denominador;
  • multiplicamos u'(x) por v(x) e subtraímos u(x) vezes v'(x);
  • dividimos tudo por v(x)^{2}.
Antes de aplicar, lembra das regras básicas que vamos usar:
  • Regra da soma: (a(x)+b(x))' = a'(x)+b'(x).
  • Regra do poder (power rule): \big(x^{n}\big)'=n x^{n-1} para n constante.
  • Derivada de constante é zero: \text{(c)}'=0.

Passo 3

Identificamos u(x) e v(x) e calculamos suas derivadas usando as regras acima:
Definimos
u(x)=4x-x^{2}, \qquad v(x)=x^{2}+4.
Aplicando a regra do poder e da soma:
u'(x)=(4x)'-(x^{2})'=4-2x,
v'(x)=(x^{2})'+(4)'=2x+0=2x.
Aqui expliquei cada passo: a derivada de 4x é 4 (coeficiente), a derivada de -x^{2} é -2x; a derivada de x^{2} é 2x e a de 4 é 0.

Passo 4

Agora aplicamos diretamente a regra do quociente substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=\frac{(4-2x)(x^{2}+4)-(4x-x^{2})(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Vou desenvolver o numerador passo a passo para simplificar.

Passo 5

Expandimos cada produto do numerador:
Primeiro termo:
(4-2x)(x^{2}+4)=4\cdot x^{2}+4\cdot 4-2x\cdot x^{2}-2x\cdot 4.
Calculando cada produto:
(4-2x)(x^{2}+4)=4x^{2}+16-2x^{3}-8x.
Segundo termo:
(4x-x^{2})(2x)=2x\cdot 4x-2x\cdot x^{2}=8x^{2}-2x^{3}.
Agora subtraímos o segundo termo do primeiro (conforme a fórmula):
\text{numerador}=(4x^{2}+16-2x^{3}-8x)-(8x^{2}-2x^{3}).

Passo 6

Continuamos a simplificação do numerador fazendo as subtrações termo a termo:
Primeiro somamos os termos semelhantes:
4x^{2}+16-2x^{3}-8x-8x^{2}+2x^{3}.
Observe que -2x^{3}+2x^{3}=0, então os termos em x^{3} cancelam. Restam:
(4x^{2}-8x^{2})-8x+16 = -4x^{2}-8x+16.
Fatorando um -4 comum:
-4x^{2}-8x+16=-4\big(x^{2}+2x-4\big).
Portanto a derivada simplificada fica
f'(x)=\frac{-4\big(x^{2}+2x-4\big)}{(x^{2}+4)^{2}}.
Pequeno comentário didático: podemos deixar o sinal negativo na frente para ver a forma factorizada, ou distribuir o -4 no numerador; ambas as formas estão corretas. O denominador permanece (x^{2}+4)^{2}, que é sempre positivo, então não surgem problemas de mudança de sinal por divisão.

Resposta

f'(x)=\frac{-4\big(x^{2}+2x-4\big)}{(x^{2}+4)^{2}}

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