Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação útil:
para todo
, então a função está definida em toda a reta real (não temos pontos de descontinuidade por divisão por zero). A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente para derivar uma razão de funções. A regra do quociente diz o seguinte:
Se
e
são diferenciáveis e
, então
Explicando a fórmula de forma bem didática:
-
é a derivada do numerador; -
é a derivada do denominador; - multiplicamos
por e subtraímos vezes ; - dividimos tudo por
.
Antes de aplicar, lembra das regras básicas que vamos usar:
- Regra da soma:
. - Regra do poder (power rule):
para constante. - Derivada de constante é zero:
.
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas usando as regras acima:
Definimos
Aplicando a regra do poder e da soma:
Aqui expliquei cada passo: a derivada de
é
(coeficiente), a derivada de
é
; a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 4
Agora aplicamos diretamente a regra do quociente substituindo
,
,
e
:
Vou desenvolver o numerador passo a passo para simplificar.
Passo 5
Expandimos cada produto do numerador:
Primeiro termo:
Calculando cada produto:
Segundo termo:
Agora subtraímos o segundo termo do primeiro (conforme a fórmula):
Passo 6
Continuamos a simplificação do numerador fazendo as subtrações termo a termo:
Primeiro somamos os termos semelhantes:
Observe que
, então os termos em
cancelam. Restam:
Fatorando um
comum:
Portanto a derivada simplificada fica
Pequeno comentário didático: podemos deixar o sinal negativo na frente para ver a forma factorizada, ou distribuir o
no numerador; ambas as formas estão corretas. O denominador permanece
, que é sempre positivo, então não surgem problemas de mudança de sinal por divisão.