Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)^{x}
Isto é uma forma indeterminada do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural, transformar o problema numa forma \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} e aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Defina
y = \Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)^{x}.
Então
\ln y = x \,\ln\!\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr).
O limite original será
\lim_{x\to+\infty}y = \exp\!\Bigl(\lim_{x\to+\infty}\ln y\Bigr).

Passo 3

Observe que, quando x\to+\infty, temos \ln\!\bigl(\tfrac{x+2}{x-1}\bigr)\to\ln(1)=0
e x\to+\infty, de modo que
\lim_{x\to+\infty}x\,\ln\!\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)
é da forma \infty\cdot0. Reescrevemos como quociente para usar L’Hôpital:
\lim_{x\to+\infty}x\,\ln\!\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr) = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\!\bigl(\frac{x+2}{x-1}\bigr)}{1/x}.
Agora o numerador e o denominador vão a zero quando x\to\infty, ou seja, é forma \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplique a Regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a x.
Numerador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln(x+2)-\ln(x-1)\Bigr] = \frac1{x+2}-\frac1{x-1} = \frac{(x-1)-(x+2)}{(x+2)(x-1)} = -\frac{3}{(x+2)(x-1)}.
Denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr) = -\frac1{x^2}.
Portanto, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\!\bigl(\frac{x+2}{x-1}\bigr)}{1/x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{-\tfrac{3}{(x+2)(x-1)}}{-\tfrac1{x^2}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2}{(x+2)(x-1)}.
E
\frac{3x^2}{(x+2)(x-1)} = \frac{3x^2}{x^2 + x -2} \longrightarrow 3.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 3.

Passo 5

Voltando ao y, temos
\lim_{x\to+\infty}y = \exp\!\Bigl(\lim_{x\to+\infty}\ln y\Bigr) = e^{3}.

Resposta

e^{3}

Exercícios relacionados