Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede
Isto é uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver, vamos usar o truque de tomar o logaritmo natural, transformar o problema numa forma
ou
e aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Defina
Então
O limite original será
Passo 3
Observe que, quando
, temos
e , de modo que
e
é da forma
. Reescrevemos como quociente para usar L’Hôpital:
Agora o numerador e o denominador vão a zero quando
, ou seja, é forma
.
Passo 4
Aplique a Regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a
.
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Portanto, pela Regra de L’Hôpital,
E
Logo
Passo 5
Voltando ao
, temos