Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\ln \left(e^{x}+5 \operatorname{sen}(x)-4 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\left(e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3}\right).
Informações relevantes dadas:
\;f é o logaritmo natural de uma expressão \;e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3}.
O domínio da função exige que
e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3}>0,
mas para calcular a derivada vamos usar a expressão interna sem especificar pontos concretos do domínio.

Passo 2

Estratégia geral (por que este método?): vamos usar a regra da cadeia porque \;f é uma composição de funções: primeiro a função interna
\;u(x)=e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3} e depois a função externa \;g(u)=\ln(u). A regra da cadeia diz que, se \;f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aplicamos isto com g(u)=\ln(u) e u(x) acima.

Passo 3

Derivada da função externa g(u)=\ln(u):
a derivada de \ln(u) em relação a u é
g'(u)=\frac{1}{u}.
Isto significa que, ao aplicar a regra da cadeia, teremos um fator \frac{1}{u(x)} multiplicando u'(x). Um exemplo simples para fixar: se h(x)=\ln(x^{2}) então h'(x)=\frac{1}{x^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}.

Passo 4

Identificamos a função interna
u(x)=e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3}.
Agora vamos derivar u(x) termo a termo, explicando cada derivada:
  • Derivada de \;e^{x} é \;e^{x}, pois a exponencial é igual à sua própria derivada.
  • Derivada de \;5\operatorname{sen}(x): constante multiplicada por função, então sai a constante e derivamos \operatorname{sen}(x). A derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x). Assim obtemos \;5\cos(x).
  • Derivada de \;-4x^{3}: aplica-se a regra da potência e a constante -4. A derivada de x^{3} é 3x^{2}, então o resultado é -4\cdot 3x^{2}=-12x^{2}.
Portanto
u'(x)=e^{x}+5\cos(x)-12x^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia combinando g'(u(x))=\dfrac{1}{u(x)} com u'(x):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
f'(x)=\frac{e^{x}+5\cos(x)-12x^{2}}{e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3}}.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação: cada termo do numerador vem da derivação term a term de u(x); o denominador é exatamente a função interna u(x), conforme a derivada de \ln(u). Não há simplificação adicional óbvia. Lembre-se de que esta expressão só vale onde o denominador é diferente de zero (e, para a função original, onde é positivo).

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}+5\cos(x)-12x^{2}}{e^{x}+5\operatorname{sen}(x)-4x^{3}}

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