Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
é o logaritmo natural de uma expressão
.
O domínio da função exige que
O domínio da função exige que
mas para calcular a derivada vamos usar a expressão interna sem especificar pontos concretos do domínio.
Passo 2
Estratégia geral (por que este método?): vamos usar a regra da cadeia porque
é uma composição de funções: primeiro a função interna
e depois a função externa
. A regra da cadeia diz que, se
, então
Aplicamos isto com
e
acima.
Passo 3
Derivada da função externa
:
a derivada de em relação a
é
a derivada de
Isto significa que, ao aplicar a regra da cadeia, teremos um fator
multiplicando
. Um exemplo simples para fixar: se
então
.
Passo 4
Identificamos a função interna
Agora vamos derivar
termo a termo, explicando cada derivada:
- Derivada de
é , pois a exponencial é igual à sua própria derivada. - Derivada de
: constante multiplicada por função, então sai a constante e derivamos . A derivada de é . Assim obtemos . - Derivada de
: aplica-se a regra da potência e a constante . A derivada de é , então o resultado é .
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia combinando
com
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Verificação rápida e interpretação: cada termo do numerador vem da derivação term a term de
; o denominador é exatamente a função interna
, conforme a derivada de
. Não há simplificação adicional óbvia. Lembre-se de que esta expressão só vale onde o denominador é diferente de zero (e, para a função original, onde é positivo).