Exercício 39. Descreva os seguintes conjuntos:
[0,2[\cap[1,3]

Passo 1

O enunciado pede que se descreva o conjunto
[0,2[\cap[1,3].
Informações dadas:
  • o primeiro intervalo é [0,2[;
  • o segundo intervalo é [1,3].
    Pergunta: qual é o conjunto formado pela interseção desses dois intervalos?

Passo 2

Relembrando o significado dos símbolos de intervalo (para qualquer a<b):
[a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x<b\}, \qquad [a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}.
Ou seja, colchete [\, significa “inclui o extremo”, e colchete do outro lado aberto \,] ou [\, no fim indica exclusão do extremo desse lado.

Passo 3

Escrevendo cada intervalo em forma de conjunto:
[0,2[=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\le x<2\}, \qquad [1,3]=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x\le 3\}.
A interseção é o conjunto de x que satisfazem simultaneamente as duas condições:
\{x\in\mathbb{R}\mid 0\le x<2\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x\le 3\}.

Passo 4

Combinar as condições:
  • Para a desigualdade inferior: 0\le x e 1\le x implicam 1\le x (ou seja, x\ge\max(0,1)=1).
  • Para a desigualdade superior: x<2 e x\le 3 implicam x<2 (ou seja, x<\min(2,3)=2).
    Portanto os x da interseção satisfazem
1\le x<2.
Observações sobre os extremos: x=1 pertence a ambos os intervalos (então é incluído); x=2 não pertence a [0,2[ (então é excluído).

Passo 5

Verificação com exemplos rápidos:
  • x=1: está em [0,2[ e em [1,3] → pertence à interseção.
  • x=1{,}5: 0\le1{,}5<2 e 1\le1{,}5\le3 → pertence.
  • x=2: não pertence a [0,2[ → não pertence à interseção.
  • x=0{,}5: não satisfaz 1\le x → não pertence.

Resposta

[1,2[)

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