Exercício 40. Considere os conjuntos
e
e responda as operações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a união dos conjuntos
e
. As informações dadas são:
-
. -
.
A pergunta específica é calcular.
Passo 2
Entendendo a notação dos intervalos (aulas rápidas):
-
significa todos os tais que . O colchete indica que o ponto está incluído; o colchete aberto à esquerda e o colchete fechado à direita têm significado análogo. -
significa todos os tais que . O parêntese invertido indica que o ponto está excluído naquele lado.
Exemplos aplicados: - Em
, o número pertence a (porque ) e o número não pertence a (porque ). - Em
, o número não pertence a (porque não vale ), e o número pertence a (porque ).
Passo 3
Definição e ideia para calcular união:
- Por definição,
. - Para intervalos numéricos, se eles se sobrepõem (têm interseção não vazia) a união costuma ser um único intervalo que vai do menor extremo à maior extremidade, ajustando inclusão/exclusão segundo quais extremos estão incluídos por pelo menos um dos conjuntos.
Passo 4
Verificando se há sobreposição entre
e
:
- O intervalo
vai de (incluído) até (excluído). - O intervalo
vai de (excluído) até (incluído). - Note que
satisfaz , portanto . Logo começa num ponto que já está dentro de : isso significa que e se sobrepõem (têm interseção não vazia). - Como há sobreposição, não há “lacuna” entre os intervalos; juntos eles cobrem todos os pontos desde o menor extremo, que é
, até o maior extremo, que é .
Passo 5
Determinação da inclusão dos extremos na união:
- O extremo esquerdo da união será
. Como , esse extremo é incluído na união. - O extremo direito da união será
. Como , esse extremo é incluído na união.
Portanto a união é um intervalo fechado em ambos os lados, sem lacunas no meio.
Passo 6
Conclusão final: a união dos conjuntos é o intervalo fechado de
até
.