Diferencie
z=w^{32}\left(w+c e^{w}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar a função z em relação à variável w, onde
z = w^{32}\left(w + c e^{w}\right).
As informações relevantes são:
  • A variável independente é w.
  • A constante c aparece multiplicando e^{w}; trate c como constante durante a diferenciação.
  • A tarefa é calcular \dfrac{dz}{dw}, ou seja, a derivada de z em relação a w.

Passo 2

Para facilitar, primeiro distribuo o produto dentro dos parênteses para escrever z como soma de termos:
z = w^{32}\cdot w + w^{32}\cdot c e^{w}.
Agora simplifico o primeiro termo:
z = w^{33} + c\,w^{32} e^{w}.

Passo 3

Uso que a derivada é uma operação linear: a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim
\frac{dz}{dw} = \frac{d}{dw}\big(w^{33}\big) + \frac{d}{dw}\big(c\,w^{32} e^{w}\big).

Passo 4

Derivo o primeiro termo usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para um inteiro n,
\frac{d}{dw}\big(w^{n}\big) = n\,w^{n-1}.
Exemplo simples: \dfrac{d}{dw}(w^{3}) = 3w^{2}. Aplicando com n=33:
\frac{d}{dw}\big(w^{33}\big) = 33\,w^{32}.

Passo 5

Agora deriva o segundo termo \dfrac{d}{dw}\big(c\,w^{32} e^{w}\big).
  • Posso tirar a constante c para fora da derivada:
\frac{d}{dw}\big(c\,w^{32} e^{w}\big) = c\cdot\frac{d}{dw}\big(w^{32} e^{w}\big).
  • Para \dfrac{d}{dw}\big(w^{32} e^{w}\big) uso a regra do produto. A regra do produto afirma:
(fg)' = f' g + f g',
onde f=f(w) e g=g(w). Aqui tomo f(w)=w^{32} e g(w)=e^{w}.
  • Calculo f'(w) e g'(w):
    • Pelo rule do poder, f'(w)=\dfrac{d}{dw}(w^{32}) = 32\,w^{31}.
    • A derivada da exponencial é ela mesma, então g'(w)=\dfrac{d}{dw}(e^{w}) = e^{w}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dw}\big(w^{32} e^{w}\big) = (32\,w^{31})\cdot e^{w} + w^{32}\cdot e^{w}.
Multiplicando pela constante c que estava fora:
\frac{d}{dw}\big(c\,w^{32} e^{w}\big) = c\big(32\,w^{31} e^{w} + w^{32} e^{w}\big).

Passo 7

Junto tudo (lembrando do resultado do Passo 4):
\frac{dz}{dw} = 33\,w^{32} + c\big(32\,w^{31} e^{w} + w^{32} e^{w}\big).
Posso factorar termos comuns para uma forma mais compacta. Por exemplo fatorando e^{w}w^{31} no segundo termo:
\frac{dz}{dw} = 33\,w^{32} + c\,e^{w}w^{31}(32 + w).

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dw}=33\,w^{32}+c\big(32\,w^{31}e^{w}+w^{32}e^{w}\big)
\displaystyle =33\,w^{32}+c\,e^{w}w^{31}(32+w)

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