Exercício 39. ônibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manhã, isto é, os ônibus chegam ao ponto às 7 h 00,7 h 15,7 h 30,7 h 45, e assim por diante. Se o instante de chegada de um passageiro ao ponto é uniformemente distribuído entre 7h00 e 7h30, determine a probabilidade:
De que ele espere menos que 5 minutos até a chegada de um ônibus.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que os ônibus passam a cada 15 minutos a partir das 7 h 00 (ou seja, em 7h00, 7h15 e 7h30) e que um passageiro chega num instante que é uniformemente distribuído entre 7h00 e 7h30. A pergunta é: qual a probabilidade de ele esperar menos que 5 minutos pelo próximo ônibus?
Conteúdo: probabilidade com variável contínua uniforme e ideia de “tempo de espera” até o próximo evento periódico. Vamos usar comprimento de intervalo e densidade constante para achar essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, modela a chegada do passageiro como uma variável aleatória
Tsim U(0,30),
onde W = (próximo mú é o número de minutos após as 7h00 em que ele chega.
- A densidade do vale para .
- O próximo ônibus chega em 15 min ou 30 min, dependendo de qual “bloco” de 15 minutos o cara caiu.
Em cada subintervalo de 15 min, o tempo de espera é simplesmente
óú
Nosso alvo é .

Passo 3

Vamos olhar separadamente nos dois blocos de 15 min:
  1. Se W = 15 - T, o próximo ônibus vem em 15 min, logo W = 30 - T
    Queremos .
    Logo, nesse bloco o tempo de chegada que dá espera <5 é .
    2) Se , o próximo ônibus vem em 30 min, então
    Queremos .
    Aí o intervalo bom é .

Passo 4

Como P(W<5) = 1030 = 13 é uniforme em , a probabilidade é comprimento dos trechos favoráveis dividido por 30:
  • No primeiro bloco: comprimento de é 5 min.
  • No segundo bloco: comprimento de também é 5 min.
    Total favorável = minutos.
    Então

Resposta

A probabilidade de o passageiro esperar menos de 5 minutos é .

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