Exercício 39. ônibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7 horas da manhã, isto é, os ônibus chegam ao ponto às
, e assim por diante. Se o instante de chegada de um passageiro ao ponto é uniformemente distribuído entre 7h00 e 7h30, determine a probabilidade:
De que ele espere menos que 5 minutos até a chegada de um ônibus.
De que ele espere menos que 5 minutos até a chegada de um ônibus.
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que os ônibus passam a cada 15 minutos a partir das 7 h 00 (ou seja, em 7h00, 7h15 e 7h30) e que um passageiro chega num instante que é uniformemente distribuído entre 7h00 e 7h30. A pergunta é: qual a probabilidade de ele esperar menos que 5 minutos pelo próximo ônibus?
Conteúdo: probabilidade com variável contínua uniforme e ideia de “tempo de espera” até o próximo evento periódico. Vamos usar comprimento de intervalo e densidade constante para achar essa probabilidade.
Conteúdo: probabilidade com variável contínua uniforme e ideia de “tempo de espera” até o próximo evento periódico. Vamos usar comprimento de intervalo e densidade constante para achar essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, modela a chegada do passageiro como uma variável aleatória
onde
- A densidade do
- O próximo ônibus chega em 15 min ou 30 min, dependendo de qual “bloco” de 15 minutos o cara caiu.
Em cada subintervalo de 15 min, o tempo de espera
Nosso alvo é
.
Passo 3
Vamos olhar separadamente nos dois blocos de 15 min:
- Se
, o próximo ônibus vem em 15 min, logo
Queremos.
Logo, nesse bloco o tempo de chegada que dá espera <5 é.
2) Se, o próximo ônibus vem em 30 min, então
Queremos .
Aí o intervalo bom é.
Passo 4
Como
é uniforme em
, a probabilidade é comprimento dos trechos favoráveis dividido por 30:
- No primeiro bloco: comprimento de
é 5 min. - No segundo bloco: comprimento de
também é 5 min.
Total favorável =minutos.
Então
Resposta
A probabilidade de o passageiro esperar menos de 5 minutos é
.