Exercício 40: Suponha que e tenham a seguinte distribuição de probabilidade conjunta:
0,05 0,25
0,10 0,10
0,30 0,20
a. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de ;
b. Encontre a distribuição de probabilidade marginal de ;
c. Encontre a distriubição de probabilidade de ;
d. Encontre a distriubição de probabilidade de ;
e. Calcule e ;
f. Calcule e ;
g. Calcule ;
h. Calcule ;
i. Calcule ;
j. Calcule .

Passo 1

Temos duas variáveis discretas Xin2,4 e Yin1,3,5 com a distribuição conjunta
c|cc Ybackslash X & 2 & 4hline 1 & 0,05 & 0,25 3 & 0,10 & 0,10 5 & 0,30 & 0,20
Precisamos achar as marginais de X e Y, as distribuições de X+Y e de XY, vários momentos (esperanças, covariância) e condicionais.

Passo 2

Marginal de X:
pX(2)=0,05+0,10+0,30=0,45, pX(4)=0,25+0,10+0,20=0,55

Passo 3

Marginal de Y:
pY(1)=0,05+0,25=0,30, pY(3)=0,10+0,10=0,20, pY(5)=0,30+0,20=0,50

Passo 4

Distribuição de Z=X+Y. Os valores possíveis e suas probabilidades são
c|c z & pZ(z)hline 3 & P(2+1)=0,05 5 & P(4+1)+P(2+3)=0,25+0,10=0,35 7 & P(4+3)+P(2+5)=0,10+0,30=0,40 9 & P(4+5)=0,20

Passo 5

Distribuição de W=XY. Temos
c|c w & pW(w)hline 2 & P(2cdot1)=0,05 4 & P(4cdot1)=0,25 6 & P(2cdot3)=0,10 10 & P(2cdot5)=0,30 12 & P(4cdot3)=0,10 20 & P(4cdot5)=0,20

Passo 6

Cálculo de E[X], E[Y] e E[X+Y]:
E[X]=2cdot0,45+4cdot0,55=3,10, E[Y]=1cdot0,30+3cdot0,20+5cdot0,50=3,40,
E[X+Y]=E[X]+E[Y]=3,10+3,40=6,50

Passo 7

Cálculo de E[XY] e Cov(X,Y):
E[XY]=sumx,yxy,pX,Y(x,y) =0,05cdot2cdot1+0,25cdot4cdot1+0,10cdot2cdot3+0,10cdot4cdot3+0,30cdot2cdot5+0,20cdot4cdot5 =9,90,
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y] =9,90 - (3,10)(3,40) = -0,64

Passo 8

Probabilidades condicionais:
P(X=2mid Y=3)=0,100,20=0,50, P(X=2mid Y=5)=0,300,50=0,60

Passo 9

E[Xmid Y=3] e E[E(Xmid Y)]:
E[Xmid Y=3]=2cdot0,100,20+4cdot0,100,20=3,00
Pela lei da esperança total,
El[E(Xmid Y)r]=E[X]=3,10

Resposta

a. pX(2)=0,45,;pX(4)=0,55
b. pY(1)=0,30,;pY(3)=0,20,;pY(5)=0,50
c. pX+Y(3)=0,05,;pX+Y(5)=0,35,;pX+Y(7)=0,40,;pX+Y(9)=0,20
d. pXY(2)=0,05,;pXY(4)=0,25,;pXY(6)=0,10,;pXY(10)=0,30,;pXY(12)=0,10,;pXY(20)=0,20
e. E[X]=3,10,;E[Y]=3,40,;E[X+Y]=6,50
f. E[XY]=9,90,;Cov(X,Y)=-0,64
g. P(X=2mid Y=3)=0,50
h. P(X=2mid Y=5)=0,60
i. E[Xmid Y=3]=3,00
j. E[E(Xmid Y)]=3,10

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