Exercício 40. Considere os conjuntos A=[-3,7[ e B=]-2,9] e responda as operações abaixo:
A \cap B

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=[-3,7[ e B=]-2,9]
e pede para calcular a interseção A\cap B.
Vou também escrever o que cada intervalo significa em forma de desigualdade (peguei esses dados do enunciado):
  • A=[-3,7[=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\le x<7\}.
  • B=]-2,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid -2<x\le 9\}.

Passo 2

Definição importante (passo didático): a interseção é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Formalmente,
A\cap B=\{x\in\mathbb{R}\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\in B\}.
Na prática, para intervalos é preciso encontrar os x que satisfazem simultaneamente as desigualdades que definem A e B.

Passo 3

Juntando as descrições de A e B, os x devem satisfazer ambas as condições
-3\le x<7 \qquad\text{e}\qquad -2<x\le 9.
Para a extremidade esquerda, compare -3 e -2: qualquer x da interseção precisa ser simultaneamente \ge -3 e > -2. A condição mais restritiva (que domina) é x>-2, porque ser > -2 já garante ser \ge -3. Portanto a fronteira esquerda da interseção é -2 e é aberta (não incluída).

Passo 4

Para a extremidade direita, compare 7 e 9: é preciso ter x<7 e x\le 9. A condição mais restritiva é x<7 (é mais forte que x\le 9). Portanto a fronteira direita da interseção é 7 e também é aberta (não incluída), porque A não inclui 7.

Passo 5

Concluindo com os dois limites: a interseção é o conjunto de x tais que -2<x<7. Em notação de intervalos, mantendo o estilo do enunciado,
A\cap B=]-2,7[.
Checagem rápida (para ficar seguro): 0\in A\cap B porque -2<0<7. O ponto -2 não pertence porque B não inclui -2. O ponto 7 não pertence porque A não inclui 7. Tudo consistente.

Resposta

]-2,7[

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