Exercício 40. Suponha que a duração de uma ligação telefônica em uma cabine pública (em minutos) é uma variável aleatória exponencial com parâmetro lambda=110. Se uma pessoa chega imediatamente a sua frente na cabine públia, determine a probabilidade de que você terá de esperar:
mais que 10 minutos;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo que a pessoa à sua frente fica no telefone é uma variável aleatória exponencial com parâmetro (minutos⁻¹). A matéria aqui é Distribuição Exponencial, e para resolver precisamos usar a função de sobrevivência (ou cauda) dessa distribuição, que calcula .

Passo 2

O que é Distribuição Exponencial?
  • É uma distribuição contínua que modela “tempos de espera” até um evento (aqui, o fim da ligação).
  • O parâmetro fX(t) = lambda e^-lambda t, t >= 0 indica a taxa; FX(t) = P(X <= t) = 1 - e^-lambda t significa que, em média, as ligações duram 10 minutos.
  • A função densidade (PDF) é
P(X > t) = 1 - FX(t) = e^-lambda t
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
  • A função de sobrevivência, que queremos, é

Passo 3

Agora, basta aplicar a função de sobrevivência para P(X > 10) = e^-lambda cdot 10 = e^-tfrac110 cdot 10 = e^-1 minutos:

Resposta

P(esperar mais que 10 min) = e^-1 approx 0,3679

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