Exercício 40. Suponha que a duração de uma ligação telefônica em uma cabine pública (em minutos) é uma variável aleatória exponencial com parâmetro lambda=110. Se uma pessoa chega imediatamente a sua frente na cabine públia, determine a probabilidade de que você terá de esperar:
entre 10 e 20 minutos.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: a duração P(10 < X < 20)? de uma ligação numa cabine pública segue uma distribuição exponencial com parâmetro (ou seja, em média dura 10 minutos). A pergunta é: qual a probabilidade de você esperar entre 10 e 20 minutos, ou seja
Estamos em Estatística/Probabilidade, usando a distribuição exponencial. Para resolver vamos precisar da densidade da variável exponencial e da sua função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Lembra que, para f(x) = lambda e^-lambda x, x>=0, , a densidade é
F(x) = P(X <= x) = 1 - e^-lambda x
e a função de distribuição acumulada é
P(a < X < b) = F(b) - F(a)
Quando queremos numa distribuição contínua, usamos

Passo 3

Aqui F(10) = 1 - e^-110cdot 10 = 1 - e^-1, F(20) = 1 - e^-110cdot 20 = 1 - e^-2 . Então
P(10 < X < 20) = F(20) - F(10) = l(1 - e^-2r) - l(1 - e^-1r) = e^-1 - e^-2
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Passo 4

Agora é só calcular numericamente:
e^-1 approx 0.3679, e^-2 approx 0.1353,
então
P(10 < X < 20) approx 0.3679 - 0.1353 = 0.2326

Resposta

A probabilidade de esperar entre 10 e 20 minutos é
boxedP(10 < X < 20) = e^-1 - e^-2 approx 0.2326

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