Exercício 41: Deseja-se estudar a composição familiar quanto ao sexo de famílias com três crianças. As variáveis aleatórias são:
X=n^o de meninos;
Y=l1 , se o 1^o filho for menino 0 , se o 1^o filho for menina;
Z=n^o de vezes em que houve variação no sexo entre um nascimento e outro.
A partir da suposição de que cada composição tem a mesma probabilidade, encontre:
a. A distribuição de probabilidade conjunta ( X, Y, Z );
b. A distribuição de probabilidade conjunta (X, Y);
c. As distribuições de probabilidade marginal de X, Y e Z;
d. E[X], E[Y] e E[Z], E[X+Y] e E[X+Y+Z];
e. A distribuição condicional de Y dado X=2;
f. A distribuição do n^circ de meninos sabendo-se que o 1^circ filho foi menino, ou seja, P(X=x mid Y=1) ;
g. E(X mid Y=1).

Passo 1

O enunciado trata de famílias com três filhos, cada composição de meninos (B) e meninas (G) tendo probabilidade igual de 1/8. Definimos as variáveis aleatórias:
X= número de meninos;
Y=1 se o primeiro filho for menino e Y=0 caso contrário;
Z= número de vezes em que há troca de sexo entre nascimentos consecutivos.
Vamos enumerar o espaço amostral, calcular (X,Y,Z) em cada ponto, e a partir daí obter as distribuições conjuntas, marginais, condicionais e as esperanças.

Passo 2

As oito composições equiprováveis e seus valores de (X,Y,Z) são:
BBB: (3,1,0);
BBG: (2,1,1);
BGB: (2,1,2);
BGG: (1,1,1);
GBB: (2,0,1);
GBG: (1,0,2);
GGB: (1,0,1);
GGG: (0,0,0).

Passo 3

Distribuição conjunta de (X,Y,Z): para cada tripla (x,y,z) que aparece acima,
P(X=x,Y=y,Z=z)=18,
e P(X=x,Y=y,Z=z)=0 caso contrário.

Passo 4

Distribuição conjunta de (X,Y) obtida somando sobre Z:
&P(X=0,Y=0)=tfrac18, P(X=0,Y=1)=0, &P(X=1,Y=1)=tfrac18, P(X=1,Y=0)=tfrac28, &P(X=2,Y=1)=tfrac28, P(X=2,Y=0)=tfrac18, &P(X=3,Y=1)=tfrac18, P(X=3,Y=0)=0

Passo 5

Distribuições marginais:
&pX(0)=tfrac18,;pX(1)=tfrac38,;pX(2)=tfrac38,;pX(3)=tfrac18, &pY(0)=tfrac48=tfrac12,;pY(1)=tfrac12, &pZ(0)=tfrac28=tfrac14,;pZ(1)=tfrac48=tfrac12,;pZ(2)=tfrac28=tfrac14

Passo 6

Usando linearidade:
E[X]=sumx=0^3 x,pX(x)=0+3+6+38=128=1,5,
E[Y]=0cdottfrac12+1cdottfrac12=tfrac12=0,5,
E[Z]=0cdottfrac14+1cdottfrac12+2cdottfrac14=4+48=1
Logo
E[X+Y]=E[X]+E[Y]=1,5+0,5=2,
E[X+Y+Z]=E[X]+E[Y]+E[Z]=1,5+0,5+1=3

Passo 7

Distribuição condicional de Y dado X=2:
P(Y=1mid X=2)=P(X=2,Y=1)P(X=2)=tfrac28tfrac38=tfrac23,
P(Y=0mid X=2)=tfrac13

Passo 8

Distribuição condicional de X dado Y=1:
P(X=0mid Y=1)=0,; P(X=1mid Y=1)=tfrac18tfrac12=tfrac14,; P(X=2mid Y=1)=tfrac28tfrac12=tfrac12,; P(X=3mid Y=1)=tfrac14

Passo 9

Esperança condicional E[Xmid Y=1]:
E[Xmid Y=1] =0cdot0 +1cdottfrac14+2cdottfrac12+3cdottfrac14 = tfrac14+1+tfrac34=2

Resposta

a. P(X=x,Y=y,Z=z)=tfrac18 para
(x,y,z)in(3,1,0),(2,1,1),(2,1,2),(1,1,1),(2,0,1),(1,0,2),(1,0,1),(0,0,0),
e zero caso contrário.
b.
P(X=0,Y=0)=tfrac18,;P(X=1,Y=1)=tfrac18,;P(X=1,Y=0)=tfrac28,; P(X=2,Y=1)=tfrac28,;P(X=2,Y=0)=tfrac18,;P(X=3,Y=1)=tfrac18
c.
pX=(tfrac18,tfrac38,tfrac38,tfrac18),; pY=(tfrac12,tfrac12),; pZ=(tfrac14,tfrac12,tfrac14)
d.
E[X]=1,5,;E[Y]=0,5,;E[Z]=1,;E[X+Y]=2,;E[X+Y+Z]=3
e.
P(Y=1mid X=2)=tfrac23,;P(Y=0mid X=2)=tfrac13
f.
P(X=0mid Y=1)=0,;P(X=1mid Y=1)=tfrac14,;P(X=2mid Y=1)=tfrac12,;P(X=3mid Y=1)=tfrac14
g.
E[Xmid Y=1]=2

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