Exercício 41: Deseja-se estudar a composição familiar quanto ao sexo de famílias com três crianças. As variáveis aleatórias são: de meninos; Z=n^o de vezes em que houve variação no sexo entre um nascimento e outro.
A partir da suposição de que cada composição tem a mesma probabilidade, encontre:
a. A distribuição de probabilidade conjunta ( X, Y, Z );
b. A distribuição de probabilidade conjunta (X, Y);
c. As distribuições de probabilidade marginal de X, Y e Z;
d. E[X], E[Y] e E[Z], E[X+Y] e E[X+Y+Z];
e. A distribuição condicional de Y dado X=2;
f. A distribuição do n^circ de meninos sabendo-se que o 1^circ filho foi menino, ou seja, P(X=x mid Y=1) ;
g. E(X mid Y=1).
Passo 1
O enunciado trata de famílias com três filhos, cada composição de meninos (B) e meninas (G) tendo probabilidade igual de 1/8. Definimos as variáveis aleatórias: X= número de meninos; Y=1 se o primeiro filho for menino e Y=0 caso contrário; Z= número de vezes em que há troca de sexo entre nascimentos consecutivos.
Vamos enumerar o espaço amostral, calcular (X,Y,Z) em cada ponto, e a partir daí obter as distribuições conjuntas, marginais, condicionais e as esperanças.
Passo 2
As oito composições equiprováveis e seus valores de (X,Y,Z) são:
BBB: (3,1,0);
BBG: (2,1,1);
BGB: (2,1,2);
BGG: (1,1,1);
GBB: (2,0,1);
GBG: (1,0,2);
GGB: (1,0,1);
GGG: (0,0,0).
Passo 3
Distribuição conjunta de (X,Y,Z): para cada tripla (x,y,z) que aparece acima,
P(X=x,Y=y,Z=z)=18,
e P(X=x,Y=y,Z=z)=0 caso contrário.
Passo 4
Distribuição conjunta de (X,Y) obtida somando sobre Z: