Exercício 41. Encontre o polinômio de Taylor de ordem cinco em torno da origem da função f(x)=\operatorname{sen}(x). Use este polinômio para aproximar \operatorname{sen}(x) para x \in[-\pi / 32, \pi / 32] e mostre que o erro cometido nesta aproximação é menor que 10^{-9}.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem cinco de f(x)=\operatorname{sen}(x) em torno da origem e que usemos esse polinômio para aproximar \operatorname{sen}(x) em \bigl[-\pi/32,\pi/32\bigr], mostrando que o erro é menor que 10^{-9}. Vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem n de f em 0 é
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k
e que o resto na forma de Lagrange é
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}
para algum \xi entre 0 e x.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de \operatorname{sen}(x) em 0:
O próximo termo não nulo na expansão de \operatorname{sen}(x) é de ordem x^7. Usamos o resto de ordem seis em diante numa forma útil: para algum \xi entre 0 e x,