Exercício 2.41. Seja f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} for dada por f(\vec{x})=\|\vec{x}\|, sendo \vec{x}= \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), ou seja, a função norma. Calcule \partial f / \partial x_{k} \cdot\left(\right. Resposta: \left.x_{k} /\|\vec{x}\|^{3}\right)

Passo 1

O enunciado define a função norma
f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\qquad f(\vec x)=\|\vec x\|
com \vec x=(x_1,x_2,\dots,x_n), e pede a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_k}. Vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos a norma em termos de soma de quadrados:
f(\vec x)=\Bigl(\sum_{i=1}^n x_i^2\Bigr)^{1/2}.
Definimos a função interna
g(\vec x)=\sum_{i=1}^n x_i^2,
de modo que f(\vec x)=\bigl(g(\vec x)\bigr)^{1/2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à derivada de f em relação a x_k:
\frac{\partial f}{\partial x_k} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\bigl(u^{1/2}\bigr)\Big|_{u=g(\vec x)} \cdot \frac{\partial g}{\partial x_k}.

Passo 4

Calculamos as derivadas separadamente:
A derivada de u^{1/2} é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(u^{1/2})=\frac12\,u^{-1/2},
e
\frac{\partial g}{\partial x_k} =\frac{\partial}{\partial x_k}\Bigl(\sum_{i=1}^n x_i^2\Bigr) =2\,x_k.
Substituindo em (3), obtemos
\frac{\partial f}{\partial x_k} =\frac12\bigl(g(\vec x)\bigr)^{-1/2}\cdot 2\,x_k =\frac{x_k}{\sqrt{g(\vec x)}}.

Passo 5

Como \sqrt{g(\vec x)}=\|\vec x\|, concluímos
\frac{\partial f}{\partial x_k} =\frac{x_k}{\|\vec x\|}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x_k} =\frac{x_k}{\|\vec x\|}.

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