Exercício extra: Demonstre o teorema do divergente, isto é,
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar o Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss), que afirma
O que precisamos usar é a definição de divergente em coordenadas cartesianas e o Teorema Fundamental do Cálculo em cada direção.
Passo 2
Considere um paralelepípedo elementar de arestas
,
,
, com faces paralelas aos planos coordenados. O fluxo de
pelas duas faces perpendiculares ao eixo
é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em
, para
pequeno:
Passo 3
De modo análogo, o fluxo pelas faces em
e em
é
Somando as três contribuições, o fluxo total pelo paralelepípedo vale
Passo 4
Agora particionamos o volume
em muitos desses paralelepípedos elementares. Somando o fluxo de cada um e passando ao limite em que o tamanho máximo dos elementos vai a zero, as contribuições dos fluxos nas faces internas se cancelam por oposição de sinais.
Passo 5
Ficam somente os fluxos através das faces externas, isto é, através de
. Assim, a soma (no limite integral) do fluxo elementar é exatamente o fluxo total pelo contorno:
Resposta
Demonstração completa do Teorema do Divergente: