Exercício extra: Demonstre o teorema do divergente, isto é,
\int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} d^{3} x=\oint_{\partial V} \vec{A} \cdot d \vec{a}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o Teorema do Divergente (ou Teorema de Gauss), que afirma
\int_{V} \bigl(\nabla \cdot \vec{A}\bigr)\,d^{3}x \;=\;\oint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{a}.
O que precisamos usar é a definição de divergente em coordenadas cartesianas e o Teorema Fundamental do Cálculo em cada direção.

Passo 2

Considere um paralelepípedo elementar de arestas dx, dy, dz, com faces paralelas aos planos coordenados. O fluxo de \vec{A} pelas duas faces perpendiculares ao eixo x é
\Phi_x =\;A_x(x+dx,y,z)\,dy\,dz \;-\;A_x(x,y,z)\,dy\,dz.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo em x, para dx pequeno:
\Phi_x \approx \frac{\partial A_x}{\partial x}\,dx\;\;dy\;dz.

Passo 3

De modo análogo, o fluxo pelas faces em y e em z é
\Phi_y \approx \frac{\partial A_y}{\partial y}\,dx\;dy\;dz, \qquad \Phi_z \approx \frac{\partial A_z}{\partial z}\,dx\;dy\;dz.
Somando as três contribuições, o fluxo total pelo paralelepípedo vale
\Phi_{\text{total}} =\;\biggl(\frac{\partial A_x}{\partial x} +\frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z}{\partial z}\biggr)\,dx\,dy\,dz =\bigl(\nabla\cdot\vec{A}\bigr)\,d^{3}x.

Passo 4

Agora particionamos o volume V em muitos desses paralelepípedos elementares. Somando o fluxo de cada um e passando ao limite em que o tamanho máximo dos elementos vai a zero, as contribuições dos fluxos nas faces internas se cancelam por oposição de sinais.

Passo 5

Ficam somente os fluxos através das faces externas, isto é, através de \partial V. Assim, a soma (no limite integral) do fluxo elementar é exatamente o fluxo total pelo contorno:
\int_{V} \bigl(\nabla\cdot\vec{A}\bigr)\,d^{3}x =\oint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{a}.

Resposta

Demonstração completa do Teorema do Divergente:
\boxed{\int_{V} \nabla\cdot\vec{A}\,d^{3}x =\oint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{a}.}

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