Exercício 41:
Seja
. Considerando o produto Cartesiano
definimos a seguinte relação
sse
.
(i) Mostre que
é uma relação de equivalência.
(ii) Seja
. Defina
. Mostre que esta definição é independente dos representantes, isto é, se
e
entao,
.
Seja
(i) Mostre que
(ii) Seja
Passo 1
O enunciado define uma relação em
por
sse
. Na parte (i) precisamos mostrar que isso é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva). Na parte (ii) temos a definição de soma de classes
e queremos provar que ela não depende dos representantes escolhidos.
Passo 2
Para a reflexividade, basta notar que para qualquer
temos trivialmente
. Assim
Passo 3
Suponha agora que
, ou seja
. Como a multiplicação em
é comutativa, temos também
. Logo
Passo 4
Para a transitividade, suponha
Passo 5
Agora, para a parte (ii), suponha
Resposta
Logo, mostramos que em
a relação
é reflexiva, simétrica e transitiva (portanto de equivalência) e que a operação de soma definida em
é bem-definida, isto é, independe dos representantes escolhidos.