Exercício 41:
Seja Z^*:=Z-0. Considerando o produto Cartesiano Z times Z^* definimos a seguinte relação r lang<= a, brang<= r lang<= c, drang<= sse a d=b c.
(i) Mostre que r é uma relação de equivalência.
(ii) Seja lang<= a, brang<= / r+lang<= c, drang<= / r:=lang<= a d+b c, b drang<= / r. Defina lang<= c, drang<= / r=. Mostre que esta definição é independente dos representantes, isto é, se e entao, .

Passo 1

O enunciado define uma relação em ZtimesZ^* por lang<= a,brang<=,r,lang<= c,drang<= sse a,d = b,c. Na parte (i) precisamos mostrar que isso é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva). Na parte (ii) temos a definição de soma de classes lang<= a,brang<=/r + lang<= c,drang<=/r := lang<= a d + b c,,b drang<=/r e queremos provar que ela não depende dos representantes escolhidos.

Passo 2

Para a reflexividade, basta notar que para qualquer lang<= a,brang<= temos trivialmente a,b = b,a. Assim
lang<= a,brang<=,r,lang<= a,brang<=,o que mostra que r é reflexiva.

Passo 3

Suponha agora que lang<= a,brang<=,r,lang<= c,drang<=, ou seja a,d = b,c. Como a multiplicação em Z é comutativa, temos também c,b = d,a. Logo
lang<= c,drang<=,r,lang<= a,brang<=,o que prova que r é simétrica.

Passo 4

Para a transitividade, suponha
lang<= a,brang<=,r,lang<= c,drang<=elang<= c,drang<=,r,lang<= e,frang<=,isto é
a,d = b,ce c,f = d,eMultiplicando a primeira igualdade por f e a segunda por b, obtemos
a,d,f = b,c,fe b,c,f = b,d,eDaí segue
a,d,f = b,d,e,ou seja
lang<= a,brang<=,r,lang<= e,frang<=,mostrando a transitividade.

Passo 5

Agora, para a parte (ii), suponha
lang<= a,brang<=/r = lang<= a',b'rang<=/relang<= c,drang<=/r = lang<= c',d'rang<=/rIsso significa
a,b' = a',be c,d' = c',dQueremos provar que
lang<= a d + b c,,b drang<=,r,lang<= a' d' + b' c',,b' d'rang<=,ou seja mostrar
(a d + b c),b',d' = (a' d' + b' c'),b,dExplicitemos cada lado:
(a d + b c),b',d' = a,d,b',d' ;+ b,c,b',d',
(a' d' + b' c'),b,d = a',d',b,d ;+ b',c',b,dAgora usamos a,b' = a',b: multiplicando por d,d'
a,d,b',d' = a',b,d,d' = a',d',b,dE de c,d' = c',d: multiplicando por b,b'
b,c,b',d' = b',c',b,dSomando essas duas igualdades obtemos exatamente
(a d + b c),b',d' = (a' d' + b' c'),b,d,o que conclui que a soma de classes é independente dos representantes.

Resposta

Logo, mostramos que em ZtimesZ^* a relação r é reflexiva, simétrica e transitiva (portanto de equivalência) e que a operação de soma definida em (ZtimesZ^*)/r é bem-definida, isto é, independe dos representantes escolhidos.

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