Sejam a subseteq N, r:=lang<= x, 2 xrang<= mid x in a e s:=lang<= x, 7 xrang<= mid x in a relações. Escreva as relações compostas r circ s, s circ r, r circ(s circ r) e r^3.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com duas relações definidas sobre um subconjunto a de N:
Temos
r = lang<= x,2xrang<= mid xin a e
s = lang<= x,7xrang<= mid xin a.
O objetivo é escrever as relações compostas rcirc s, scirc r, rcirc(scirc r) e r^3.
Para isso vamos precisar da definição de composição de relações: dado R e S,
Rcirc S = lang<= x,zrang<= mid exists y:lang<= x,yrang<=in S e lang<= y,zrang<=in R

Passo 2

Para achar rcirc s usamos que de s partimos de x e chegamos em y=7x, e de r de y a z=2y. Logo
z = 2,(7x)=14x.
Só vale quando xin a e 7xin a, pois lang<= x,7xrang<= vem de s e lang<= 7x,14xrang<= de r.
Portanto
rcirc s=lang<= x,14xrang<=mid xin a e 7xin a

Passo 3

Para scirc r invertemos a ordem: de r partimos de x a y=2x e de s de y a z=7y.
Assim
z=7,(2x)=14x.
É necessário xin a e 2xin a. Logo
scirc r=lang<= x,14xrang<=mid xin a e 2xin a

Passo 4

Para rcirc(scirc r) primeiro já sabemos que scirc r leva x a y=14x, desde que xin a e 2xin a.
Depois aplicamos r em y para chegar em z=2y=2,(14x)=28x.
As condições são: xin a, 2xin a (para r interna), e 14xin a (para r externa). Então
rcirc(scirc r)=lang<= x,28xrang<=mid xin a,;2xin a,;14xin a

Passo 5

Para r^3=rcirc rcirc r basta notar que cada aplicação de r multiplica por 2.
Em três iterações se chega em 8x. É preciso garantir que todos os pontos intermediários estejam em a:
xin a,;2xin a,;4xin a.
Logo
r^3=lang<= x,8xrang<=mid xin a,;2xin a,;4xin a

Resposta

r\circ s={\langle x,14x\rangle\mid x\in ae7x\in a}, s\circ r={\langle x,14x\rangle\mid x\in ae2x\in a}, r\circ(s\circ r)={\langle x,28x\rangle\mid x\in a,;2x\in a,;14x\in a}, r^3={\langle x,8x\rangle\mid x\in a,;2x\in a,;4x\in a}

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