Sejam
e
relações. Escreva as relações compostas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com duas relações definidas sobre um subconjunto
de
:
Temos
e
.
O objetivo é escrever as relações compostas ,
,
e
.
Para isso vamos precisar da definição de composição de relações: dado e
,
Temos
O objetivo é escrever as relações compostas
Para isso vamos precisar da definição de composição de relações: dado
Passo 2
Para achar
usamos que de
partimos de
e chegamos em
, e de
de
a
. Logo
.
Só vale quando e
, pois
vem de
e
de
.
Portanto
Só vale quando
Portanto
Passo 3
Para
invertemos a ordem: de
partimos de
a
e de
de
a
.
Assim
.
É necessário e
. Logo
Assim
É necessário
Passo 4
Para
primeiro já sabemos que
leva
a
, desde que
e
.
Depois aplicamos em
para chegar em
.
As condições são: ,
(para
interna), e
(para
externa). Então
Depois aplicamos
As condições são:
Passo 5
Para
basta notar que cada aplicação de
multiplica por 2.
Em três iterações se chega em . É preciso garantir que todos os pontos intermediários estejam em
:
.
Logo
Em três iterações se chega em
Logo
Resposta
r\circ s={\langle x,14x\rangle\mid x\in ae7x\in a}, s\circ r={\langle x,14x\rangle\mid x\in ae2x\in a}, r\circ(s\circ r)={\langle x,28x\rangle\mid x\in a,;2x\in a,;14x\in a}, r^3={\langle x,8x\rangle\mid x\in a,;2x\in a,;4x\in a}