Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
Passo 1
O operador linear é definido por T(x,y,z) = (z,y,x), ou seja, ele “troca” as componentes x e z e deixa y igual. Vamos achar os autovalores λ e os autovetores v ≠ 0 tais que T(v)=λv.
Passo 2
Na base canônica de ℝ³, a matriz de T é
Passo 3
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico
Assim, os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-1 (multiplicidade 1).
Passo 4
Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, isto é
(z,y,x)=(x,y,z)
implica z=x e y livre. Logo os autovetores têm a forma
(x,y,x)=x,(1,0,1)+y,(0,1,0)
Um sistema de geradores da eigensubespaço é {(1,0,1),(0,1,0)}.
Passo 5
Para lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0, ou seja
(z,y,x)=(-x,-y,-z)
implica y=0 e z=-x. Logo os autovetores são
(x,0,-x)=x,(1,0,-1)
Um gerador da eigensubespaço é {(1,0,-1)}.
Resposta
Autovalores: 1 (multiplicidade algébrica 2) e -1 (multiplicidade algébrica 1). Autovetores: para λ=1, vetores da forma (x,y,x), gerados por (1,0,1) e (0,1,0); para λ=-1, vetores da forma (x,0,-x), gerado por (1,0,-1).