Encontre os auto-valores e os auto-vetores dos operadores lineares abaixo:
T(x, y, z)=(z, y, x)

Passo 1

O operador linear é definido por T(x,y,z) = (z,y,x), ou seja, ele “troca” as componentes x e z e deixa y igual. Vamos achar os autovalores λ e os autovetores v ≠ 0 tais que T(v)=λv.

Passo 2

Na base canônica de ℝ³, a matriz de T é
A=0 & 0 & 10 & 1 & 01 & 0 & 0

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=det-lambda & 0 & 10 & 1-lambda & 01 & 0 & -lambda=(1-lambda)(lambda^2-1)=(lambda-1)^2(lambda+1)
Assim, os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=-1 (multiplicidade 1).

Passo 4

Para lambda=1, resolvemos (A-I)v=0, isto é
(z,y,x)=(x,y,z)
implica z=x e y livre. Logo os autovetores têm a forma
(x,y,x)=x,(1,0,1)+y,(0,1,0)
Um sistema de geradores da eigensubespaço é {(1,0,1),(0,1,0)}.

Passo 5

Para lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0, ou seja
(z,y,x)=(-x,-y,-z)
implica y=0 e z=-x. Logo os autovetores são
(x,0,-x)=x,(1,0,-1)
Um gerador da eigensubespaço é {(1,0,-1)}.

Resposta

Autovalores: 1 (multiplicidade algébrica 2) e -1 (multiplicidade algébrica 1). Autovetores: para λ=1, vetores da forma (x,y,x), gerados por (1,0,1) e (0,1,0); para λ=-1, vetores da forma (x,0,-x), gerado por (1,0,-1).

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