Em um experimento binomial com 3 provas, a probabilidade de exatamente 2 sucessos é 12 vezes a probabilidade de 3 sucessos. Encontre p.

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n=3 e probabilidade de sucesso p. Queremos encontrar p sabendo que
P(X=2)=12\,P(X=3).
Usaremos a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}.

Passo 2

Escrevemos as probabilidades pedidas:
P(X=2)=\binom{3}{2}p^2(1-p)=3\,p^2(1-p),
P(X=3)=\binom{3}{3}p^3(1-p)^0=p^3.

Passo 3

Impondo a condição do enunciado:
3\,p^2(1-p)=12\,p^3.

Passo 4

Supondo p\neq0, dividimos ambos os lados por p^2 e obtemos
3(1-p)=12p \quad\Longrightarrow\quad 3-3p=12p \quad\Longrightarrow\quad 3=15p.

Passo 5

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p=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0{,}2.

Resposta

p=\frac{1}{5}.

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