Exercício 3.44. Calcule
e
para cada uma das seguintes curvas e verifique que as equações de Frenet-Serret são satisfeitas:
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede os seguintes objetos dependentes de
:
(curvatura),
(torção),
(vetor tangente unitário),
(vetor normal principal) e
(binormal). Também pede que se verifique que as equações de Frenet–Serret são satisfeitas.
Informações dadas (explicitadas):
- A curva está dada coordenada a coordenada, com componentes em termos de
. - Não há restrição adicional sobre o domínio, mas é necessário que
para que as raízes estejam bem definidas (ou seja, se quisermos todos os termos reais e diferenciáveis sem tratativa de sinais).
Perguntas a responder:
- Encontrar
, , , e . - Verificar as equações de Frenet–Serret:
Passo 2
Calcular
(derivada componente a componente) e verificar a velocidade.
Derivando cada componente:
Derivando cada componente:
Logo
Calculemos o quadrado da norma (velocidade ao quadrado):
Portanto
. Isto é importante: a curva está parametrizada por comprimento de arco (unit-speed). Consequência prática:
e
.
Passo 3
Calcular
(segunda derivada) e usar para obter
e
.
Derivando
:
Então
Como a velocidade é unitária,
. Calculemos
:
Portanto
E, como já observado,
Passo 4
Calcular o vetor normal principal
. Definição prática para unit-speed:
Tomando
e dividindo por
:
Simplificando (é útil usar
):
cada componente reduz-se para uma forma simples; ao fazer a simplificação obtém-se
cada componente reduz-se para uma forma simples; ao fazer a simplificação obtém-se
Verificação rápida: a norma de
é
logo está normalizado e orientado corretamente (perpendicular a
porque
por cálculo direto).
Passo 5
Calcular o binormal
.
Usando os vetores computados:
Fazendo o produto vetorial componente a componente (padrão) chega-se a
Pode-se verificar que
é unitário e ortogonal a
e
.
Passo 6
Calcular a torção
. Para parametrização por comprimento de arco, uma fórmula conveniente é
Já temos
e
. Calcule
derivando
:
Calculando o produto misto e o denominador (os detalhes algébricos podem ser feitos passo a passo em prova), obtém-se
Dividindo, simplifica-se para
Observação curiosa: neste exemplo
.
Passo 7
Verificação das equações de Frenet–Serret.
-
. Já calculado . Pela definição de e do valor de ,
o que é exatamente a primeira equação
.
- Calcule
diretamente a partir de :
Calcule o lado direito
. Como
, temos
Calculando
com os vetores encontrados e multiplicando por
obtém-se exatamente
. Portanto a segunda equação é satisfeita.
- Finalmente calcule
a partir de :
O lado direito da terceira equação é
. Substituindo
e
confirma-se que
Assim, todas as três equações de Frenet–Serret são verificadas.