Exercício 3.44. Calcule k, \tau, \vec{T}, \vec{N} e \vec{B} para cada uma das seguintes curvas e verifique que as equações de Frenet-Serret são satisfeitas:
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3 / 2}, \frac{1}{3}(1-t)^{3 / 2}, \frac{t}{\sqrt{2}}\right) ;

Passo 1

O enunciado dá a curva
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3/2},\;\frac{1}{3}(1-t)^{3/2},\;\frac{t}{\sqrt{2}}\right)
e pede os seguintes objetos dependentes de t: k (curvatura), \tau (torção), \vec{T} (vetor tangente unitário), \vec{N} (vetor normal principal) e \vec{B} (binormal). Também pede que se verifique que as equações de Frenet–Serret são satisfeitas.
Informações dadas (explicitadas):
  • A curva está dada coordenada a coordenada, com componentes em termos de t.
  • Não há restrição adicional sobre o domínio, mas é necessário que 1\pm t>0 para que as raízes estejam bem definidas (ou seja, |t|<1 se quisermos todos os termos reais e diferenciáveis sem tratativa de sinais).
Perguntas a responder:
  • Encontrar \kappa(t), \tau(t), \vec{T}(t), \vec{N}(t) e \vec{B}(t).
  • Verificar as equações de Frenet–Serret: \vec{T}'(t)=\kappa(t)\,\vec{N}(t),\qquad \vec{N}'(t)=-\kappa(t)\,\vec{T}(t)+\tau(t)\,\vec{B}(t),\qquad \vec{B}'(t)=-\tau(t)\,\vec{N}(t).

Passo 2

Calcular \vec{r}'(t) (derivada componente a componente) e verificar a velocidade.
Derivando cada componente:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3/2}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1+t)^{1/2}=\frac{1}{2}\sqrt{1+t},
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}(1-t)^{3/2}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(1-t)^{1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}\sqrt{1-t},
\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\vec{r}'(t)=\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+t},\;-\frac{1}{2}\sqrt{1-t},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Calculemos o quadrado da norma (velocidade ao quadrado):
\|\vec{r}'(t)\|^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+t}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\sqrt{1-t}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 =\frac{1}{4}(1+t)+\frac{1}{4}(1-t)+\frac{1}{2}=1.
Portanto \|\vec{r}'(t)\|=1. Isto é importante: a curva está parametrizada por comprimento de arco (unit-speed). Consequência prática: \vec{T}(t)=\vec{r}'(t) e \kappa(t)=\|\vec{r}''(t)\|.

Passo 3

Calcular \vec{r}''(t) (segunda derivada) e usar para obter \kappa(t) e \vec{T}(t).
Derivando \vec{r}'(t):
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+t}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}=\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},
\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}\sqrt{1-t}\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1-t)^{-1/2}\cdot(-1)=\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.
Então
\vec{r}''(t)=\left(\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},\;\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},\;0\right).
Como a velocidade é unitária, \kappa(t)=\|\vec{r}''(t)\|. Calculemos \|\vec{r}''(t)\|^2:
\|\vec{r}''(t)\|^2=\frac{1}{16}\frac{1}{1+t}+\frac{1}{16}\frac{1}{1-t} =\frac{1}{16}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right) =\frac{1}{16}\cdot\frac{2}{1-t^2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1-t^2}.
Portanto
\kappa(t)=\|\vec{r}''(t)\|=\sqrt{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{1-t^2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{1-t^2}}.
E, como já observado,
\vec{T}(t)=\vec{r}'(t)=\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+t},\;-\frac{1}{2}\sqrt{1-t},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 4

Calcular o vetor normal principal \vec{N}(t). Definição prática para unit-speed:
\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}=\frac{\vec{r}''(t)}{\|\vec{r}''(t)\|}.
Tomando \vec{r}''(t) e dividindo por \kappa(t):
\vec{N}(t)=\frac{\left(\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},\;\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},\;0\right)} {\dfrac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{1-t^2}}}.
Simplificando (é útil usar \sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}):
cada componente reduz-se para uma forma simples; ao fazer a simplificação obtém-se
\vec{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\sqrt{1-t},\;\sqrt{1+t},\;0\big).
Verificação rápida: a norma de \vec{N}(t) é
\frac{1}{2}\big(1-t+1+t\big)=1,
logo está normalizado e orientado corretamente (perpendicular a \vec{T} porque \vec{T}\cdot\vec{N}=0 por cálculo direto).

Passo 5

Calcular o binormal \vec{B}(t)=\vec{T}(t)\times\vec{N}(t).
Usando os vetores computados:
\vec{B}(t)=\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+t},\;-\frac{1}{2}\sqrt{1-t},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\times \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\sqrt{1-t},\;\sqrt{1+t},\;0\big).
Fazendo o produto vetorial componente a componente (padrão) chega-se a
\vec{B}(t)=\left(-\frac{1}{2}\sqrt{1+t},\;\frac{1}{2}\sqrt{1-t},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Pode-se verificar que \vec{B} é unitário e ortogonal a \vec{T} e \vec{N}.

Passo 6

Calcular a torção \tau(t). Para parametrização por comprimento de arco, uma fórmula conveniente é
\tau(t)=\frac{(\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t))\cdot\vec{r}'''(t)}{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|^2}.
Já temos \vec{r}' e \vec{r}''. Calcule \vec{r}'''(t) derivando \vec{r}''(t):
\vec{r}'''(t)=\left(-\frac{1}{8}(1+t)^{-3/2},\;\frac{1}{8}(1-t)^{-3/2},\;0\right).
Calculando o produto misto e o denominador (os detalhes algébricos podem ser feitos passo a passo em prova), obtém-se
(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''=\frac{1}{16\sqrt{2}}\frac{1}{(1-t^2)^{3/2}}, \qquad \|\vec{r}'\times\vec{r}''\|^2=\frac{1}{8}\frac{1}{1-t^2}.
Dividindo, simplifica-se para
\tau(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{1-t^2}}.
Observação curiosa: neste exemplo \tau(t)=\kappa(t).

Passo 7

Verificação das equações de Frenet–Serret.
  1. \vec{T}'(t)=\vec{r}''(t). Já calculado \vec{r}''(t). Pela definição de \vec{N} e do valor de \kappa,
\vec{r}''(t)=\kappa(t)\,\vec{N}(t),
o que é exatamente a primeira equação \vec{T}'=\kappa\vec{N}.
  1. Calcule \vec{N}'(t) diretamente a partir de \vec{N}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1-t},\sqrt{1+t},0):
\vec{N}'(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t}},\;\frac{1}{\sqrt{1+t}},\;0\right).
Calcule o lado direito -\kappa\vec{T}+\tau\vec{B}. Como \kappa=\tau, temos
-\kappa\vec{T}+\tau\vec{B}=\kappa(-\vec{T}+\vec{B}).
Calculando -\vec{T}+\vec{B} com os vetores encontrados e multiplicando por \kappa obtém-se exatamente \vec{N}'(t). Portanto a segunda equação é satisfeita.
  1. Finalmente calcule \vec{B}'(t) a partir de \vec{B}(t):
\vec{B}'(t)=\left(-\frac{1}{4}(1+t)^{-1/2},\;-\frac{1}{4}(1-t)^{-1/2},\;0\right).
O lado direito da terceira equação é -\tau\vec{N}(t). Substituindo \tau e \vec{N}(t) confirma-se que
\vec{B}'(t)=-\tau(t)\,\vec{N}(t).
Assim, todas as três equações de Frenet–Serret são verificadas.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{1-t^{2}}}
\displaystyle \tau(t)=\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{1-t^{2}}}
\displaystyle \vec{T}(t)=\left(\frac{1}{2}\sqrt{1+t},\;-\frac{1}{2}\sqrt{1-t},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\displaystyle \vec{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\sqrt{1-t},\;\sqrt{1+t},\;0\big)
\displaystyle \vec{B}(t)=\left(-\frac{1}{2}\sqrt{1+t},\;\frac{1}{2}\sqrt{1-t},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

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