Exercício 42: A distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias independentes e é parcialmente apresentada a seguir:
0,3
0,7
0,2 0,3
a. Complete a tabela;
b. Calcule o valor esperado e variância de .

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias X e Y independentes com marginais
;P(X=1)=0,3,;P(X=2)=0,7
;P(Y=-2)=0,2,;P(Y=2)=0,3
e pede (a) completar a tabela conjunta e (b) calcular o valor esperado e a variância de 2X - Y.

Passo 2

Como as probabilidades de Y devem somar 1, temos
P(Y=0)=1 - l(P(Y=-2)+P(Y=2)r) =1 - (0,2+0,3) =0,5

Passo 3

Pela independência,
P(X=x,Y=y)=P(X=x),P(Y=y)
Logo a tabela conjunta fica
c|ccc|c Xbackslash Y & -2 & 0 & 2 & P(X=x)hline 1 & 0,3cdot0,2=0,06 & 0,3cdot0,5=0,15 & 0,3cdot0,3=0,09 & 0,3 2 & 0,7cdot0,2=0,14 & 0,7cdot0,5=0,35 & 0,7cdot0,3=0,21 & 0,7hline P(Y=y) & 0,2 & 0,5 & 0,3 &

Passo 4

Calculamos as médias:
E[X]=1cdot0,3 + 2cdot0,7 =0,3+1,4=1,7,
E[Y]=(-2)cdot0,2 + 0cdot0,5 +2cdot0,3 = -0,4+0+0,6=0,2

Passo 5

Calculamos as variâncias marginais:

Passo 6

Pela linearidade,
E[2X - Y] =2,E[X] - E[Y] =2cdot1,7 - 0,2 =3,4 -0,2 =3,2

Passo 7

Como e são independentes,

Resposta

a. Tabela conjunta completa:
b.

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