Exercício 46: Seja as variáveis aleatórias e com respectivas funções de probabilidade marginais. Qual o pressuposto necessário para fazer este exercício?
0,20
0,20
0,60
0,20
0,40
0,40
a. Calcule ;
b. Calcule .

Passo 1

O enunciado dá as distribuições marginais de X e Y e pede E[3X+Y] e Var[3X+Y]. Para usar
E[aX+bY]=a,E[X]+b,E[Y]
e
Var[aX+bY]=a^2,Var[X]+b^2,Var[Y]+2ab,Cov(X,Y),
precisamos do valor de Cov(X,Y). Como não temos a distribuição conjunta, o pressuposto necessário é assumir que X e Y são independentes, de modo que Cov(X,Y)=0.

Passo 2

Calcular E[X] e E[Y] a partir das marginais:
E[X]=1cdot0,20+2cdot0,20+3cdot0,60=0,2+0,4+1,8=2,4,
E[Y]=0cdot0,20+1cdot0,40+2cdot0,40=0+0,4+0,8=1,2

Passo 3

Aplicar a linearidade da esperança:
E[3X+Y]=3,E[X]+E[Y]=3cdot2,4+1,2=7,2+1,2=8,4

Passo 4

Calcular Var(X) e Var(Y). Primeiro as segundas momentos:
E[X^2]=1^2cdot0,20+2^2cdot0,20+3^2cdot0,60=0,2+0,8+5,4=6,4,
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2=6,4-(2,4)^2=6,4-5,76=0,64
E[Y^2]=0^2cdot0,20+1^2cdot0,40+2^2cdot0,40=0+0,4+1,6=2,0,
Var(Y)=E[Y^2]-l(E[Y]r)^2=2,0-(1,2)^2=2,0-1,44=0,56

Passo 5

Usando independência ( Cov(X,Y)=0), temos
Var[3X+Y]=3^2,Var(X)+1^2,Var(Y) =9cdot0,64+0,56=5,76+0,56=6,32

Resposta

Pressuposto: X e Y são independentes.
a. E[3X+Y]=8,4
b. Var[3X+Y]=6,32

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