Exercício 43. Uma população cresce segundo:
P(t)=100 e^{0.05 t}
Determine:
  1. P(0)
  2. \lim _{t \rightarrow \infty} P(t)

Passo 1

O enunciado dá a função população em função do tempo:
P(t)=100 e^{0,05 t}.
As perguntas são duas, claramente separadas:
  1. Determinar P(0).
  2. Determinar \lim_{t\to\infty} P(t).

Passo 2

Relembrando propriedades básicas da função exponencial (aulas rápidas e úteis para a prova):
  • A função exponencial \,e^{x}\, é contínua e estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
  • Tem a propriedade fundamental \,e^{0}=1. Isso decorre da definição de exponenciação: qualquer número (não nulo) elevado a zero vale 1.
  • Se k>0, então \lim_{t\to\infty} e^{k t} = \infty. Intuitivamente: o expoente cresce sem limite, e a exponencial cresce muito rápido, indo para infinito.
Vou usar essas propriedades passo a passo para responder as duas perguntas.

Passo 3

Calculando P(0). Substitui-se t=0 na expressão dada:
P(0)=100 e^{0,05\cdot 0}.
Como 0,05\cdot 0 = 0, isso vira
P(0)=100 e^{0}.
Usando \,e^{0}=1, obtemos
P(0)=100\cdot 1=100.
Comentário prático: isso significa que no instante inicial a população é 100 (unidades de população — o enunciado não especificou unidade).

Passo 4

Analisando o limite quando t\to\infty. A função dada é um múltiplo constante de uma exponencial com coeficiente positivo no expoente:
P(t)=100 e^{0,05 t}=100\cdot e^{k t}\quad\text{com}\quad k=0,05>0.
Como explicado, para k>0 vale \lim_{t\to\infty} e^{k t}=\infty. Pela continuidade e pelo fato de multiplicar por uma constante positiva ( 100), o comportamento ao infinito mantém-se divergente para infinito:
\lim_{t\to\infty} P(t)=100\cdot\lim_{t\to\infty} e^{0,05 t}=100\cdot\infty=\infty.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova: sempre que tiver \,a e^{b t} com a>0 e b>0, o limite quando t\to\infty será +\infty. Se b<0, o limite seria 0. Anote estas regras rápidas na sua cola mental!

Resposta

P(0)=100
\lim_{t\rightarrow\infty} P(t)=\infty

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