Exercício 43. Uma população cresce segundo:
Determine:
-
-
Passo 1
O enunciado dá a função população em função do tempo:
As perguntas são duas, claramente separadas:
- Determinar
. - Determinar
.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas da função exponencial (aulas rápidas e úteis para a prova):
- A função exponencial
é contínua e estritamente crescente em todo . - Tem a propriedade fundamental
. Isso decorre da definição de exponenciação: qualquer número (não nulo) elevado a zero vale . - Se
, então . Intuitivamente: o expoente cresce sem limite, e a exponencial cresce muito rápido, indo para infinito.
Vou usar essas propriedades passo a passo para responder as duas perguntas.
Passo 3
Calculando
. Substitui-se
na expressão dada:
Como
, isso vira
Usando
, obtemos
Comentário prático: isso significa que no instante inicial a população é
(unidades de população — o enunciado não especificou unidade).
Passo 4
Analisando o limite quando
. A função dada é um múltiplo constante de uma exponencial com coeficiente positivo no expoente:
Como explicado, para
vale
. Pela continuidade e pelo fato de multiplicar por uma constante positiva (
), o comportamento ao infinito mantém-se divergente para infinito:
Passo 5
Interpretação final e dica para prova: sempre que tiver
com
e
, o limite quando
será
. Se
, o limite seria
. Anote estas regras rápidas na sua cola mental!