Exercício 43 (Bônus, 1 ponto). Prove o Método de Integração por Partes.
Teorema (Método de Integração por Partes). Sejam
tais que
:
funções diferenciáveis em
. Se existe uma antiderivada de
, então também existirá uma antiderivada de
e valerá a fórmula de integração por partes:
Teorema (Método de Integração por Partes). Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar o Método de Integração por Partes, que é uma técnica usada em cálculo para integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de derivadas e antiderivadas, que são funções que “desfazem” a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto para derivadas. Se temos duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, a derivada do produto delas é:
Isso significa que, ao derivar o produto de duas funções, a gente deriva uma e multiplica pela outra, e depois soma o contrário.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação acima entre os limites $ a $ e $ b $:
A integral da derivada de $ f(x)g(x) $ é simplesmente $ f(b)g(b) - f(a)g(a) $ pelo teorema fundamental do cálculo.
Passo 4
Então, temos:
Rearranjando a equação para isolar a integral que a gente quer provar:
Que é a fórmula do Método de Integração por Partes.
Resposta
Assim, provamos que:
Esse é o Método de Integração por Partes!