Exercício 43 (Bônus, 1 ponto). Prove o Método de Integração por Partes.
Teorema (Método de Integração por Partes). Sejam a, b in R tais que a : [a, b] R funções diferenciáveis em ] a, b[. Se existe uma antiderivada de f^prime(x) g(x), então também existirá uma antiderivada de f(x) g^prime(x) e valerá a fórmula de integração por partes:
integral f(x) g^prime(x) d x=f(x) g(x)-integral f^prime(x) g(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar o Método de Integração por Partes, que é uma técnica usada em cálculo para integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de derivadas e antiderivadas, que são funções que “desfazem” a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto para derivadas. Se temos duas funções, $ f(x) $ e $ g(x) $, a derivada do produto delas é:
f(x)
Isso significa que, ao derivar o produto de duas funções, a gente deriva uma e multiplica pela outra, e depois soma o contrário.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação acima entre os limites $ a $ e $ b $:
a
A integral da derivada de $ f(x)g(x) $ é simplesmente $ f(b)g(b) - f(a)g(a) $ pelo teorema fundamental do cálculo.

Passo 4

Então, temos:
f(b)g(b) - f(a)g(a) = integrala^b f'(x)g(x) dx + integrala^b f(x)g'(x) dx
Rearranjando a equação para isolar a integral que a gente quer provar:
integrala^b f(x)g'(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - integrala^b f'(x)g(x) dx
Que é a fórmula do Método de Integração por Partes.

Resposta

Assim, provamos que:
integral f(x) g^prime(x) d x = f(x) g(x) - integral f^prime(x) g(x) d x
Esse é o Método de Integração por Partes!

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