INSTITUTO FEDERAL Ceará IFCE - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIẾNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ
Campus Iguatu
Disciplina: Cálculo II
Professor: Cleilton Bezerra de Melo
|c|c| hline mu avaliação parcial
Iguatu Nome:
*Observações
  1. Esta avaliação vale 10 pontos. Leia atentamente antes de respondê-la.
  2. Uso obrigatório de caneta de tinta azul ou preta. O uso de lápis implicará na perda do direito de revisão de prova.
  3. Todas as questōes devem estar devidamente justificadas.
  4. Não é permitido a utilização de calculadoras, livros, cadernos, anotaçōes, celulares e smartphones dentre outros.
  5. Em caso de cola, a prova estará automaticamente anulada.
  6. Só será permitida a saída de sala após 40 minutos do início de sua aplicação.
    Calcule:
integral-1^2 x cdot raizx+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral-1^2 x,raizx+2,dx. O conteúdo principal aqui é integração de funções com radicais, e para resolver vamos usar a técnica de substituição para transformar o radical em uma potência mais simples de integrar.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = x + 2. Dessa forma temos:
u = x+2 implies x = u-2
e
du = dx
Além disso, mudamos os limites da integral:
para x=-1 temos u= -1+2 = 1,
para x=2 temos u= 2+2 = 4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral-1^2 x,raizx+2,dx = integral1^4 (u-2),raizu,du
Como raizu = u^1/2, distribuímos:
integral1^4 (u^3/2 - 2u^1/2),du

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada termo a termo. Sabendo que
integral u^3/2,du = 25,u^5/2, integral u^1/2,du = 23,u^3/2,
temos
integral (u^3/2 - 2u^1/2),du = 25u^5/2 - 2cdot23u^3/2 = 25u^5/2 - 43u^3/2

Passo 5

Aplicando agora os limites de u=1 a u=4:
(25u^5/2 - 43u^3/2)g|1^4 = l(25cdot 4^5/2 - 43cdot 4^3/2r) - l(25cdot 1^5/2 - 43cdot 1^3/2r)
Calculando separadamente:
4^5/2=32, 4^3/2=8, 1^5/2=1, 1^3/2=1
Então
l(25cdot32 - 43cdot8r) = 645 - 323 = 192-16015 = 3215,
l(25cdot1 - 43cdot1r) = 25 - 43 = 6-2015 = -1415
Subtraindo dá
3215 - l(-tfrac1415r) = 4615

Resposta

4615

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