Exercício 44 Use retrosubstituição (substituição de baixo para cima) para resolver cada um dos sistemas a seguir.

\left{ \begin{aligned} x_{1}-3 x_{2} & =2 \\ 2 x_{2} & =6 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por retrosubstituição, o sistema
\begin{cases} x_{1}-3x_{2}=2,\\[6pt] 2x_{2}=6. \end{cases}
Informações dadas:
  • São duas equações lineares em duas incógnitas \,x_{1} e \,x_{2}.
  • A segunda equação envolve apenas \,x_{2}, o que indica que o sistema é triangular superior (a última equação dá uma variável isolada).
    O objetivo é encontrar os valores de \,x_{1} e \,x_{2}.]

Passo 2

Explicação do método (pequena aula): retrosubstituição significa resolver a última equação (a que contém apenas uma incógnita) para obter esse valor e, em seguida, substituir esse valor nas equações acima para encontrar as demais incógnitas. Aqui a última equação é
2x_{2}=6.
Resolvida essa equação isolamos \,x_{2} dividindo ambos os lados por 2. Dividir por um número é a operação inversa da multiplicação; como 2 multiplica \,x_{2}, dividimos para recuperar \,x_{2}:
x_{2}=\frac{6}{2}.

Passo 3

Calculemos a divisão:
x_{2}=\frac{6}{2}=3.
Portanto já temos \,x_{2}=3. (Pequeno incentivo: ótimo — já tiramos metade do trabalho!)

Passo 4

Agora substituímos \,x_{2}=3 na primeira equação para achar \,x_{1}. A primeira equação é
x_{1}-3x_{2}=2.
Substituindo:
x_{1}-3\cdot 3=2.
Calcule o produto 3\cdot 3:
x_{1}-9=2.

Passo 5

Para isolar \,x_{1} somamos 9 em ambos os lados (a soma é a operação inversa da subtração). Assim:
x_{1}=2+9.
E efetuando a soma:
x_{1}=11.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática): substituir os valores encontrados de volta nas equações para confirmar.
  • Primeira equação: x_{1}-3x_{2}=11-3\cdot 3=11-9=2, bate com o lado direito.
  • Segunda equação: 2x_{2}=2\cdot 3=6, também bate.
    Logo a solução está correta.

Resposta

x_{1}=11
x_{2}=3

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