Exercício 44 Use retrosubstituição (substituição de baixo para cima) para resolver cada um dos sistemas a seguir.

\left{ \begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} & =8 \\ 2 x_{2}+x_{3} & =5 \\ 3 x_{3} & =9 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para resolver usando retrosubstituição. As equações fornecidas são (copiadas do enunciado):
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=8,\\[4pt] 2x_{2}+x_{3}=5,\\[4pt] 3x_{3}=9. \end{cases}
O que é pedido explicitamente: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Informações relevantes dadas:
  • A terceira equação envolve somente x_{3}.
  • A segunda equação envolve x_{2} e x_{3}.
  • A primeira envolve x_{1}, x_{2} e x_{3}.]

Passo 2

Breve explicação do método (retrosubstituição) antes de aplicar: quando um sistema está em forma triangular (a última equação envolve só uma incógnita, a penúltima envolve no máximo duas, etc.), resolve-se primeiro a última incógnita isoladamente; em seguida substitui-se esse valor nas equações acima para obter as incógnitas anteriores, subindo “de baixo para cima”. É exatamente o caso aqui, pois a terceira equação dá x_{3} diretamente.

Passo 3

Resolver a terceira equação para x_{3}. A equação é
3x_{3}=9.
Para isolar x_{3} divide-se ambos os lados por 3:
x_{3}=\frac{9}{3}=3.
Portanto x_{3}=3.

Passo 4

Substituir o valor encontrado de x_{3} na segunda equação para determinar x_{2}. A segunda equação é
2x_{2}+x_{3}=5.
Substituindo x_{3}=3 obtemos
2x_{2}+3=5.
Agora isolamos x_{2}: subtrai-se 3 de ambos os lados,
2x_{2}=5-3=2,
e divide-se por 2:
x_{2}=\frac{2}{2}=1.
Logo x_{2}=1.

Passo 5

Substituir x_{2}=1 e x_{3}=3 na primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira equação é
x_{1}+x_{2}+x_{3}=8.
Substituindo os valores conhecidos:
x_{1}+1+3=8.
Somando 1+3 4, então
x_{1}+4=8.
Isolando x_{1} subtrai-se 4:
x_{1}=8-4=4.

Passo 6

Verificação rápida (substituir os três valores nas equações originais):
  • Primeira: x_{1}+x_{2}+x_{3}=4+1+3=8 (confere).
  • Segunda: 2x_{2}+x_{3}=2\cdot1+3=2+3=5 (confere).
  • Terceira: 3x_{3}=3\cdot3=9 (confere).
    Todos os três valores satisfazem o sistema.

Resposta

x_{1}=4
x_{2}=1
x_{3}=3

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