Exercício 43 : Determine x em,
\log (x-1)+\log (x+1)=\log 8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log(x-1) + \log(x+1) = \log 8
O conteúdo principal aqui é a propriedade de soma de logaritmos e a resolução de uma equação quadrática. Vamos precisar determinar o domínio dos logaritmos, usar
\log a + \log b = \log(ab)
e depois resolver o polinômio resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio exigido pelos logaritmos:
x-1 > 0\quad\text{e}\quad x+1 > 0
Isto implica
x > 1
Portanto só podemos aceitar soluções maiores que 1.

Passo 3

Aplicamos a propriedade \log a + \log b = \log(ab) ao membro esquerdo:
\log(x-1) + \log(x+1) = \log\bigl[(x-1)(x+1)\bigr].
Assim a equação fica
\log\bigl[(x-1)(x+1)\bigr] = \log 8.

Passo 4

Como \log A = \log B implica A = B (desde que A>0 e B>0), obtemos
(x-1)(x+1) = 8.
Expandindo,
x^2 - 1 = 8
x^2 = 9
x = \pm 3.

Passo 5

Retornando ao domínio x>1, descartamos x=-3. Logo a única solução válida é
x = 3.

Resposta

3

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