Exercício 49. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}.
Informações que temos do enunciado:
  • A expressão no numerador tende a e^{0}-1, isto é 0.
  • O denominador tende a 0.
    Logo a forma é indeterminada do tipo 0/0. Nada mais foi dado no enunciado.

Passo 2

Método 1 — usar a série de Taylor (desenvolvimento em série) de e^{x} em torno de 0.
Lembrete rápido sobre a série de e^{x}:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots,
essa série converge para todo x. Aqui cada termo da soma tem um fator de potência de x.
Substituindo na expressão do limite:
\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{\left(1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\cdots\right)-1}{x} =\frac{x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\cdots}{x}.

Passo 3

Continuando o desenvolvimento da divisão termo a termo:
\frac{e^{x}-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^{2}}{3!}+\cdots.
Agora observe o que acontece quando x\to 0: todos os termos \dfrac{x}{2!},\dfrac{x^{2}}{3!},\ldots tendem a 0 porque contêm fatores de potências positivas de x. Portanto a expressão fica na forma 1+ (coisa que vai para 0) quando x\to 0.

Passo 4

Método 2 — usar a regra de l’Hôpital (alternativa, caso já se conheça). Como a expressão é 0/0, pode-se aplicar l’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
  • derivada do numerador \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x};
  • derivada do denominador \dfrac{d}{dx}x=1.
Pelo teorema de l’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}.
A função e^{x} é contínua, então o limite do lado direito ao mandar x\to 0 é simplesmente o valor e^{0}. (Será aqui que se conclui o valor final na seção de resposta.)

Passo 5

Método 3 — interpretar o limite como derivada no ponto 0.
Definição de derivada: a derivada de uma função f em a é
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existe. Tomando f(x)=e^{x} e a=0, o limite pedido é exatamente a derivada de e^{x} em 0:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}= (e^{x})'\big|_{x=0}.
Sabe-se (por propriedades da exponencial, que podem ser justificadas pela série ou por definição) que (e^{x})'=e^{x}; logo a derivada em 0 é e^{0}. (O valor final aparece na seção de resposta.)

Resposta

1

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