Agora observe o que acontece quando x\to 0: todos os termos \dfrac{x}{2!},\dfrac{x^{2}}{3!},\ldots tendem a 0 porque contêm fatores de potências positivas de x. Portanto a expressão fica na forma 1+ (coisa que vai para 0) quando x\to 0.
Passo 4
Método 2 — usar a regra de l’Hôpital (alternativa, caso já se conheça). Como a expressão é 0/0, pode-se aplicar l’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
A função e^{x} é contínua, então o limite do lado direito ao mandar x\to 0 é simplesmente o valor e^{0}. (Será aqui que se conclui o valor final na seção de resposta.)
Passo 5
Método 3 — interpretar o limite como derivada no ponto 0.
Definição de derivada: a derivada de uma função f em a é
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existe. Tomando f(x)=e^{x} e a=0, o limite pedido é exatamente a derivada de e^{x} em 0:
Sabe-se (por propriedades da exponencial, que podem ser justificadas pela série ou por definição) que (e^{x})'=e^{x}; logo a derivada em 0 é e^{0}. (O valor final aparece na seção de resposta.)