Exercício 44. Encontrar as equações das retas tangentes à elipse 4 x^{2}+9 y^{2}=40 cujos coeficientes angulares valem -2 / 9. Use derivação implícita.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as retas tangentes à elipse
4x^{2} + 9y^{2} = 40
cujo coeficiente angular é m = -\tfrac{2}{9}. Vamos usar derivação implícita para obter y' e depois impor y' = -\tfrac{2}{9}.

Passo 2

Diferenciando implicitamente a equação da elipse em relação a x:
\frac{d}{dx}(4x^{2}) + \frac{d}{dx}(9y^{2}) = \frac{d}{dx}(40)
8x + 18y\,y' = 0
Logo,
y' = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}.

Passo 3

Impondo a condição do coeficiente angular y' = -\tfrac{2}{9}, temos
-\frac{4x}{9y} = -\frac{2}{9}.
Multiplicando ambos os lados por -9y
4x = 2y \quad\Longrightarrow\quad y = 2x.

Passo 4

Para achar os pontos de tangência, substituímos y=2x na elipse:
4x^{2} + 9(2x)^{2} = 40 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2} + 36x^{2} = 40 \quad\Longrightarrow\quad 40x^{2} = 40 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1.
Assim, x = \pm1 e y = 2x dá os pontos (1,2) e (-1,-2).

Passo 5

Escrevendo as retas de coeficiente angular m=-\tfrac{2}{9} que passam por cada ponto:
Para (1,2):
y - 2 = -\frac{2}{9}(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{2}{9}x + \frac{20}{9}.
Para (-1,-2):
y + 2 = -\frac{2}{9}(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{2}{9}x - \frac{20}{9}.

Resposta

As retas tangentes à elipse com coeficiente angular -\tfrac{2}{9} são
y = -\frac{2}{9}x + \frac{20}{9} \quad\text{e}\quad y = -\frac{2}{9}x - \frac{20}{9}.

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