(1,5 ponto)
As coordenadas cartesianas de um ponto são ( -3,3 ). Encontre três conjuntos de coordenadas polares para o ponto.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas cartesianas (-3,3) e pede três formas de escrevê-las em coordenadas polares. Vamos usar as relações
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta
e observar que há infinitas representações polares, pois podemos adicionar 2\pi ao ângulo ou mesmo permitir r<0.

Passo 2

Calculamos o raio r como a distância à origem:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}.

Passo 3

Para achar um ângulo principal \theta_0, usamos
\tan\theta_0 = \frac{y}{x} = \frac{3}{-3} = -1,
mas como (x,y) está no segundo quadrante, temos
\theta_0 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Passo 4

Em geral, as soluções são
\bigl(r,\;\theta_0 + 2\pi k\bigr), \quad k\in\mathbb{Z},
ou, permitindo r<0,
\bigl(-r,\;\theta_0 - \pi + 2\pi k\bigr).

Passo 5

Escolhendo três casos distintos, por exemplo:
  1. k=0 na primeira família:
    (3\sqrt{2},\,3\pi/4).
  2. k=-1 na primeira família:
    \bigl(3\sqrt{2},\,3\pi/4 - 2\pi\bigr) = \bigl(3\sqrt{2},\,-5\pi/4\bigr).
  3. usando r<0 com k=0 na segunda família:
    \bigl(-3\sqrt{2},\,3\pi/4 - \pi\bigr) = \bigl(-3\sqrt{2},\,-\pi/4\bigr).

Resposta

(3\sqrt{2},\,3\pi/4)
(3\sqrt{2},\,-5\pi/4)
(-3\sqrt{2},\,-\pi/4)

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