Exercício 44 Use retrosubstituição (substituição de baixo para cima) para resolver cada um dos sistemas a seguir.

\left{ \begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =5 \\ 3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} & =1 \\ -x_{3}+2 x_{4} & =-1 \\ 4 x_{4} & =4 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por retrosubstituição (substituição de baixo para cima). As incógnitas são \,x_1,x_2,x_3,x_4\,\) e o sistema dado é: \[\begin{cases} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} =5,\\[4pt] 3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} =1,\\[4pt] -x_{3}+2 x_{4} =-1,\\[4pt] 4 x_{4} =4. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • Há quatro equações e quatro incógnitas.
  • A última equação envolve apenas \,x_4\], a penúltima envolve \(\,x_3 e \,x_4, e assim por diante — isto é típico de um sistema triangular, que é ideal para aplicar retrosubstituição.
  • O objetivo: encontrar os valores numéricos de \,x_1,x_2,x_3,x_4\,.]

Passo 2

O que é retrosubstituição (explicação didática rápida)?
  • Retrosubstituição é um método para resolver sistemas quando as equações estão em forma triangular (a última equação só tem uma incógnita, a anterior tem duas, etc.).
  • Passo a passo: resolve-se primeiro a última equação para a última incógnita, substitui esse valor na equação anterior para achar a penúltima incógnita, e assim por diante, subindo até encontrar todas as incógnitas.
  • Vantagem prática: cada etapa reduz o número de incógnitas das equações acima, simplificando os cálculos.

Passo 3

Resolver a última equação para \,x_4.
A última equação é
4 x_{4} =4.
Dividindo ambos os lados por 4:
x_{4} = \frac{4}{4} = 1.
Portanto \,x_4=1.

Passo 4

Usar o valor de \,x_4 na terceira equação para achar \,x_3.
A terceira equação é
-x_{3} + 2 x_{4} = -1.
Substituindo \,x_{4}=1:
- x_{3} + 2\cdot 1 = -1.
Calculando 2\cdot 1:
- x_{3} + 2 = -1.
Isolando -x_{3}:
- x_{3} = -1 - 2 = -3.
Dividindo por -1:
x_{3} = 3.
Portanto \,x_3=3.

Passo 5

Usar os valores de \,x_3 e \,x_4 na segunda equação para achar \,x_2.
A segunda equação é
3 x_{2} + x_{3} - 2 x_{4} = 1.
Substituindo \,x_{3}=3 e \,x_{4}=1:
3 x_{2} + 3 - 2\cdot 1 = 1.
Calcule 3 - 2\cdot 1:
3 x_{2} + 3 - 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 3 x_{2} + 1 = 1.
Isolando 3 x_{2}:
3 x_{2} = 1 - 1 = 0.
Dividindo por 3:
x_{2} = 0.
Portanto \,x_2=0.

Passo 6

Usar os valores de \,x_2,x_3,x_4 na primeira equação para achar \,x_1.
A primeira equação é
x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + x_{4} = 5.
Substituindo \,x_{2}=0, \,x_{3}=3, \,x_{4}=1:
x_{1} + 2\cdot 0 + 2\cdot 3 + 1 = 5.
Calcule 2\cdot 0 = 0 e 2\cdot 3 = 6:
x_{1} + 0 + 6 + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad x_{1} + 7 = 5.
Isolando x_{1}:
x_{1} = 5 - 7 = -2.
Portanto \,x_1=-2.

Passo 7

Verificação rápida (substituir todos os valores nas equações originais para garantir que estão corretos).
  • Primeira equação:
(-2) + 2\cdot 0 + 2\cdot 3 + 1 = -2 + 0 + 6 + 1 = 5 \quad\checkmark
  • Segunda equação:
3\cdot 0 + 3 - 2\cdot 1 = 0 + 3 - 2 = 1 \quad\checkmark
  • Terceira equação:
-3 + 2\cdot 1 = -3 + 2 = -1 \quad\checkmark
  • Quarta equação:
4\cdot 1 = 4 \quad\checkmark
Todos os cheques conferem, então a solução está correta.

Resposta

x_{1}=-2
x_{2}=0
x_{3}=3
x_{4}=1

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