1. Mostre que o vetor normal do plano tangente ao gráfico de z=f(x, y), no ponto (x0, y0, f(x0, y0)), é dado por n=(-partial fpartial x(x0, y0),-partial fpartial y(x0, y0), 1). A seguir, mostre que todos os planos tangentes ao gráfico de f(x, y)=x^3x^2+y^2 passam pela origem.

Passo 1

Vamos dar um panorama da questão: a gente tem um gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y) e precisa achar o vetor normal ao plano tangente nesse gráfico num ponto específico. Isso envolve conceito de superfícies parametricamente definidas, derivadas parciais e produto vetorial ou gradiente. Depois disso, vamos aplicar tudo numa função concreta f(x,y)=x3/(x2+y^2) e mostrar que qualquer plano tangente resultante passa pela origem.

Passo 2

Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, imagine o gráfico de z=f(x,y) como superfície parametrizada por r(x,y) = (x, y, f(x,y)). As derivadas parciais geram vetores tangentes:
rx = (1, 0, partial fpartial x),
ry = (0, 1, partial fpartial y)
O vetor normal é dado pelo produto vetorial rx times ry. Calculando esse produto:
rx times ry = i & j & k 1 & 0 & fx 0 & 1 & fy = (-fx, -fy, 1)
Aqui usamos a abreviação fx=partial f/partial x e fy=partial f/partial y.

Passo 3

Sabendo o vetor normal vec n=(-fx,-fy,1) e o ponto (x0,y0,z0) com z0=f(x0,y0), a equação do plano tangente é
-fx(x0,y0)(x-x0)-fy(x0,y0)(y-y0)+1cdot(z-z0)=0
Ou de forma mais comum:
z = z0 + fx(x0,y0)(x-x0) + fy(x0,y0)(y-y0)

Passo 4

Agora vamos aplicar isso em f(x,y)=x3/(x2+y^2). Primeiro calculemos as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial x(x^3x^2+y^2) =x^2(x^2+3y^2)(x^2+y^2)^2,
fy(x,y)=partialpartial y(x^3x^2+y^2) =-2x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 5

No ponto (x0,y0) temos z0=dfracx0^3x0^2+y0^2. A equação do plano tangente então é
z = x0^3x0^2+y0^2 + x0^2(x0^2+3y0^2)(x0^2+y0^2)^2(x-x0) - 2x0^3y0(x0^2+y0^2)^2(y-y0)

Passo 6

Para verificar que a origem (0,0,0) está nesse plano, basta substituir x=0, y=0, z=0 e mostrar que a igualdade vale. Fazendo isso, a parte da direita vira
x0^3x0^2+y0^2 - x0^3(x0^2+3y0^2)(x0^2+y0^2)^2 + 2x0^3y0^2(x0^2+y0^2)^2
que, ao colocar tudo sobre o mesmo denominador (x0^2+y0^2)^2, dá zero. Ou seja, 0=0, logo a origem pertence ao plano.
Isso vale para todo ponto (x0,y0)neq(0,0). Concluímos que qualquer plano tangente à superfície passa pela origem.

Resposta

O vetor normal geral é vec n=(-fx(x0,y0),-fy(x0,y0),1). No caso de f(x,y)=x^3/(x^2+y^2), as derivadas parciais levam à equação do plano tangente que, ao substituir (x,y,z)=(0,0,0), satisfaz sempre a igualdade, mostrando que todos os planos tangentes passam pela origem.

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