Exercício 45 Escreva o sistema de equações que corresponde a cada uma das matrizes aumentadas a seguir.
\left[\begin{array}{rrrr|r}4 & -3 & 1 & 2 & 4 \\\ 3 & 1 & -5 & 6 & 5 \\\ 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\\ 5 & 1 & 3 & -2 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Escreva o sistema de equações que corresponde à matriz aumentada dada.” A matriz aumentada fornecida é (vou escrever exatamente os números que o enunciado dá):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 4 & -3 & 1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & -5 & 6 & 5 \\\\ 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\\\ 5 & 1 & 3 & -2 & 7 \end{array}\right]
Informações relevantes que temos:
  • A matriz tem 4 colunas de coeficientes e uma coluna aumentada (constantes), portanto corresponde a um sistema com 4 incógnitas e 4 equações.
  • Cada linha da matriz corresponde a uma equação linear; os quatro primeiros números de cada linha são os coeficientes das incógnitas e o último número (à direita da barra) é o termo independente (lado direito da igualdade).
  • O que se pede é apenas escrever esse sistema de equações (ou seja, traduzir cada linha em uma equação).

Passo 2

Escolher nomes para as incógnitas: é comum usar x_1,x_2,x_3,x_4. Vou adotar essas nomes e explicar o procedimento geral de tradução de uma linha em equação.
Regra geral: se uma linha da matriz aumentada é
[a\\ b\\ c\\ d \mid e],
então ela representa a equação
a x_1 + b x_2 + c x_3 + d x_4 = e.
Explicando cada símbolo:
  • a,b,c,d são os coeficientes que multiplicam as incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4, respectivamente.
  • e é o termo independente (o número do lado direito da igualdade).
  • Se algum coeficiente for 1 escreve-se simplesmente x_i; se for -1 escreve-se -x_i. Se for 0, o termo correspondente desaparece da equação.

Passo 3

Traduzindo a primeira linha da matriz. A primeira linha é
[\,4\\ \\\ -3\\ \\\ 1\\ \\\ 2 \mid 4\,].
Aplicando a regra geral isso vira a equação
4x_1 - 3x_2 + 1x_3 + 2x_4 = 4.
Observações didáticas:
  • Escrever 1x_3 é correto, mas na prática preferimos escrever só x_3.
  • O sinal negativo em -3 indica que o termo é subtraído: -3x_2.

Passo 4

Traduzindo a segunda linha da matriz. A segunda linha é
[\,3\\ \\\ 1\\ \\\ -5\\ \\\ 6 \mid 5\,].
Aplicando a regra geral isso vira a equação
3x_1 + 1x_2 - 5x_3 + 6x_4 = 5.
Observações didáticas:
  • Coeficiente 1 em x_2 é escrito simplesmente como x_2.
  • Coeficiente -5 transforma-se em -5x_3.

Passo 5

Traduzindo a terceira linha da matriz. A terceira linha é
[\,1\\ \\\ 1\\ \\\ 2\\ \\\ 4 \mid 8\,].
Isso vira a equação
1x_1 + 1x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 8,
ou, de forma mais limpa,
x_1 + x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 8.

Passo 6

Traduzindo a quarta linha da matriz. A quarta linha é
[\,5\\ \\\ 1\\ \\\ 3\\ \\\ -2 \mid 7\,].
Isso vira a equação
5x_1 + 1x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 7,
ou, de forma simplificada,
5x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 7.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (coisas que costumam dar erro): sempre alinhar corretamente as colunas com as incógnitas; não esquecer o sinal dos coeficientes negativos; quando o coeficiente for 1 ou -1 escrever sem o 1 se preferir ( x_i ou -x_i). Se for pedido depois para resolver o sistema, essas equações já estão prontas para aplicar eliminação de Gauss ou qualquer outro método.

Resposta

4x_1 - 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 4
3x_1 + x_2 - 5x_3 + 6x_4 = 5
x_1 + x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 8
5x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 7

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