Exercício 46 Resolva cada um dos sitemas a seguir.
\left\{\begin{aligned}x_{1}-2 x_{2} & =5 \\\ 3 x_{1}+x_{2} & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear formado por duas equações e duas incógnitas. As informações dadas são:
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}=5,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}=1. \end{cases}
O que se quer encontrar são os valores de x_{1} e x_{2} que satisfazem simultaneamente as duas equações.]

Passo 2

Vou usar o método da eliminação (também chamado de redução). Escolhi esse método porque é direto e usa operações simples sobre as equações para eliminar uma incógnita, ficando uma equação com uma só incógnita para resolver — é o método mais básico e rápido para sistemas 2\times2.

Passo 3

Breve explicação do método da eliminação: podemos aplicar às equações operações elementares que não mudam o conjunto de soluções:
  • multiplicar uma equação por um número real diferente de zero;
  • somar uma equação a um múltiplo da outra.
    Usando essas operações podemos eliminar uma das incógnitas e obter uma equação só em x_{1} ou só em x_{2}. Depois resolvemos essa equação e substituímos de volta para achar a outra incógnita.

Passo 4

Escrevo novamente o sistema:
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}=5,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}=1. \end{cases}
Quero eliminar x_{1}. Para isso multiplico a primeira equação por -3 (operações permitidas), obtendo:
-3x_{1}+6x_{2}=-15.
Agora somo essa nova equação com a segunda equação original:
\bigl(-3x_{1}+6x_{2}=-15\bigr)+\bigl(3x_{1}+x_{2}=1\bigr).
Ao somar os dois lados obtemos:
(-3x_{1}+3x_{1})+(6x_{2}+x_{2})=(-15+1),
ou seja,
7x_{2}=-14.]

Passo 5

Agora resolvo para x_{2}:
x_{2}=\frac{-14}{7}=-2.

Passo 6

Com x_{2}=-2, volto a uma das equações originais para achar x_{1}. Uso a primeira equação \,x_{1}-2x_{2}=5:
x_{1}-2\cdot(-2)=5.
Calculo o produto e resolvo:
x_{1}+4=5 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=5-4=1.

Passo 7

Fazer a checagem rápida substituindo \,x_{1}=1 e \,x_{2}=-2 nas duas equações para garantir que funcionam.
Verificando a primeira:
1-2\cdot(-2)=1+4=5,
bate com o lado direito 5.
Verificando a segunda:
3\cdot 1+(-2)=3-2=1,
bate com o lado direito 1.
Como ambas conferem, a solução está correta.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-2

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