Exercício 46 Resolva cada um dos sitemas a seguir.
\left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+3 x_{2}=4 \\frac{2}{3} x_{1}+4 x_{2}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}=4,\\[4pt] \dfrac{2}{3}x_{1}+4x_{2}=3. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de x_{1} e x_{2} que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Informações fornecidas (coeficientes e termos independentes):
  • Primeira equação: coeficiente de x_{1} é 4, de x_{2} é 3, termo independente é 4.
  • Segunda equação: coeficiente de x_{1} é \dfrac{2}{3}, de x_{2} é 4, termo independente é 3.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática): vou usar o método da eliminação por combinação linear. A ideia é transformar o sistema somando ou subtraindo equações multiplicadas por constantes, de modo que um dos incógnitos seja eliminado. Isso deixa uma equação com uma única incógnita, que resolvemos facilmente, e então voltamos para achar a outra incógnita.
Como regra prática para eliminar uma variável, iguala-se (por multiplicação) o coeficiente dessa variável em ambas as equações e depois subtrai-se ou soma-se as equações para cancelar essa variável.

Passo 3

Vamos eliminar x_{1}. Os coeficientes de x_{1} nas duas equações são 4 e \dfrac{2}{3}. Para igualá-los, multiplica-se a segunda equação por 6 (porque 6\cdot\dfrac{2}{3}=4). Faço isso explicitamente:
Segunda equação original:
\dfrac{2}{3}x_{1}+4x_{2}=3.
Multiplicando por 6:
6\cdot\left(\dfrac{2}{3}x_{1}+4x_{2}\right)=6\cdot 3.
Calcule cada termo:
6\cdot\dfrac{2}{3}x_{1}=4x_{1},\qquad 6\cdot 4x_{2}=24x_{2},\qquad 6\cdot 3=18.
Portanto obtemos a nova equação
4x_{1}+24x_{2}=18.

Passo 4

Agora subtrai-se a primeira equação (original) da equação obtida para eliminar x_{1}:
Equação obtida:
4x_{1}+24x_{2}=18.
Primeira equação:
4x_{1}+3x_{2}=4.
Subtraindo termo a termo:
(4x_{1}+24x_{2})-(4x_{1}+3x_{2})=18-4.
No lado esquerdo 4x_{1}-4x_{1}=0 (observe que x_{1} foi eliminado) e 24x_{2}-3x_{2}=21x_{2}. No lado direito 18-4=14. Logo:
21x_{2}=14.
Agora isolamos x_{2}:
x_{2}=\dfrac{14}{21}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 7:
x_{2}=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Com x_{2}=\dfrac{2}{3} vamos achar x_{1} substituindo em uma das equações originais (uso a primeira, que é simples):
Primeira equação:
4x_{1}+3x_{2}=4.
Substituindo x_{2}=\dfrac{2}{3}:
4x_{1}+3\cdot\dfrac{2}{3}=4.
Calcule 3\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{3}=2, então:
4x_{1}+2=4.
Isolando x_{1}:
4x_{1}=4-2=2,
x_{1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação (boa prática): substituo \,x_{1}=\dfrac{1}{2}\, e \,x_{2}=\dfrac{2}{3}\, na segunda equação para checar:
Segunda equação:
\dfrac{2}{3}x_{1}+4x_{2}=3.
Substituindo:
\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}+4\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{9}{3}=3.
Confere certinho, portanto a solução está correta.

Resposta

x_{1}=\dfrac{1}{2}
x_{2}=\dfrac{2}{3}

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