Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas:
no mínimo duas partículas

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um contador Geiger conta quantas partículas aparecem por segundo e que esse número, que a gente chama de , segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de que, num segundo, sejam registradas no mínimo duas partículas, ou seja, . Para isso, vamos usar a fórmula da massa de probabilidade da Poisson e a ideia de probabilidade complementar.

Passo 2

Antes de tudo, vale lembrar a definição:
Se P(X = k) ;=; e^-lambda,lambda^kk! tem distribuição de Poisson com parâmetro , então
para .

Passo 3

A gente quer P(X >= 2) ;=; 1 - P(X < 2) ;=; 1 - l[P(X=0) + P(X=1)r] . Uma forma rápida é usar a probabilidade complementar:

Passo 4

Vamos achar P(X=0) + P(X=1) = e^-3 + 3,e^-3 = 4,e^-3 e usando a fórmula:

  • Somando:

Passo 5

Logo,
P(X >= 2) = 1 - 4,e^-3
Se você quiser um valor numérico, lembre que 4,e^-3 approx 4 times 0,049787 = 0,199148 , então
P(X>=2) approx 1 - 0,199148 = 0,800852
e

Resposta

boxedP(X>=2) = 1 - 4e^-3 approx 0,80085

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