Exercício 46. A liga de futebol de um país tem quatro times: time 1, time 2 e time 3. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1,2 e 3 . Suponha que consta o time 1 este time tem probabilidade 1 / 4 de conquistar a vitória, enquanto essa probabilidade vale 1 / 2 quando o adversário é o time 2 e vale 2 / 5 quando o adversário é o time 3 . Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja X o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos:
a) Obtenha a função de probabilidade de X
b) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?

Passo 1

Beleza, o exercício fala de um time estrangeiro que joga três amistosos, um contra cada time 1, 2 e 3, com probabilidades de vitória diferentes:
  • Contra o time 1:
  • Contra o time 2:
  • Contra o time 3:
O que a gente precisa fazer é calcular a distribuição de probabilidade de , que é o total de vitórias nessas três partidas (ou seja, ), e depois achar .
Conteúdo: probabilidade discreta (variável soma de Bernoullis independentes, modelo “Poisson binomial”). Vamos precisar da fórmula básica de cada probabilidade de combinar vitórias e derrotas.

Passo 2

Antes de tudo, cada partida é uma variável de Bernoulli X = X1 + X2 + X3 (1 = vitória, 0 = derrota), com e . Como os jogos são independentes,
é a soma de Bernoullis com parâmetros distintos. A probabilidade de é a soma de todas as formas de ter vitórias e derrotas, multiplicando as probabilidades correspondentes.

Passo 3

Calcular Pr(X=0) = (1-p1)(1-p2)(1-p3) = tfrac34 times tfrac12 times tfrac35 = tfrac940 (nenhuma vitória) e Pr(X=3) = p1,p2,p3 = tfrac14 times tfrac12 times tfrac25 = tfrac120 (três vitórias) é mais simples:

Passo 4

Agora Pr(X=1)= p1(1-p2)(1-p3) + (1-p1)p2(1-p3) + (1-p1)(1-p2)p3 (exatamente uma vitória) é a soma das três possibilidades de escolher qual jogo foi vencido:
= tfrac14!cdottfrac12!cdottfrac35 + tfrac34!cdottfrac12!cdottfrac35 + tfrac34!cdottfrac12!cdottfrac25 = tfrac340 + tfrac940 + tfrac640 = tfrac1840 = tfrac920
Substituindo:
Pr(X=2)= p1,p2,(1-p3) + p1,(1-p2),p3 + (1-p1),p2,p3,
Para = tfrac14!cdottfrac12!cdottfrac35 + tfrac14!cdottfrac25!cdottfrac12 + tfrac34!cdottfrac12!cdottfrac25 = tfrac340 + tfrac240 + tfrac640 = tfrac1140 (exatamente duas vitórias), escolhemos dois jogos vencidos e um perdido:

Passo 5

Para Pr(X>=1) = 1 - Pr(X=0) = 1 - tfrac940 = tfrac3140 a gente usa que é mais fácil calcular o complementar :

Resposta

a) Função de probabilidade de Pr(X=0)=tfrac940, Pr(X=1)=tfrac920, Pr(X=2)=tfrac1140, Pr(X=3)=tfrac120 :
b)

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