Exercício 46. A liga de futebol de um país tem quatro times: time 1, time 2 e time 3. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1,2 e 3 . Suponha que consta o time 1 este time tem probabilidade
de conquistar a vitória, enquanto essa probabilidade vale
quando o adversário é o time 2 e vale
quando o adversário é o time 3 . Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja
o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos:
a) Obtenha a função de probabilidade de
b) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?
a) Obtenha a função de probabilidade de
b) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?
Passo 1
Beleza, o exercício fala de um time estrangeiro que joga três amistosos, um contra cada time 1, 2 e 3, com probabilidades de vitória diferentes:
- Contra o time 1:
- Contra o time 2:
- Contra o time 3:
O que a gente precisa fazer é calcular a distribuição de probabilidade de
, que é o total de vitórias nessas três partidas (ou seja,
), e depois achar
.
Conteúdo: probabilidade discreta (variável soma de Bernoullis independentes, modelo “Poisson binomial”). Vamos precisar da fórmula básica de cada probabilidade de combinar vitórias e derrotas.
Conteúdo: probabilidade discreta (variável soma de Bernoullis independentes, modelo “Poisson binomial”). Vamos precisar da fórmula básica de cada probabilidade de combinar vitórias e derrotas.
Passo 2
Antes de tudo, cada partida é uma variável de Bernoulli
(1 = vitória, 0 = derrota), com
e
. Como os jogos são independentes,
é a soma de Bernoullis com parâmetros distintos. A probabilidade de
é a soma de todas as formas de ter
vitórias e
derrotas, multiplicando as probabilidades correspondentes.
Passo 3
Calcular
(nenhuma vitória) e
(três vitórias) é mais simples:
Passo 4
Agora
(exatamente uma vitória) é a soma das três possibilidades de escolher qual jogo foi vencido:
Substituindo:
Para
(exatamente duas vitórias), escolhemos dois jogos vencidos e um perdido:
Passo 5
Para
a gente usa que é mais fácil calcular o complementar
:
Resposta
a) Função de probabilidade de
:
b)