Apresente aplicações de integrais triplas, com pelo menos um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos aplicações de integrais triplas e darmos pelo menos um exemplo explícito. O conteúdo envolve a definição de integral tripla em um domínio tridimensional V, troca de coordenadas (cartesianas, cilíndricas ou esféricas) e interpretação física do resultado (como volume, massa, centro de massa, momento de inércia, carga elétrica, etc.).
Passo 2
As integrais triplas aparecem em várias situações de engenharia e física. Entre as aplicações mais comuns estão:
Cálculo de volume de um sólido através de
\iiint_{V} dV;
cálculo de massa de um corpo com densidade \rho(x,y,z) por
m = \iiint_{V} \rho(x,y,z)\,dV;
determinação das coordenadas do centro de massa por
\overline{x} = \frac{1}{m}\,\iiint_{V} x\,\rho(x,y,z)\,dV \quad\text{(e análogos para \(\overline{y}\) e \(\overline{z}\))};
cálculo de momento de inércia
I = \iiint_{V} r^2\,\rho(x,y,z)\,dV,
onde r é a distância ao eixo de rotação; e ainda avaliação de carga elétrica total de uma distribuição volumétrica \rho_{\text{carga}}(x,y,z) via
Q = \iiint_{V} \rho_{\text{carga}}(x,y,z)\,dV.
Passo 3
Vamos ilustrar com o exemplo do cálculo da massa de um hemisfério de raio R (acima do plano xy) cuja densidade varia linearmente com a altura, isto é,
\rho(x,y,z) = \rho_{0}\,z.
O domínio V é dado por
x^2 + y^2 + z^2 \le R^2, \quad z \ge 0.
Para aproveitar a simetria, usamos coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z, \quad 0 \le r \le R,\;0 \le \theta \le 2\pi,\;0 \le z \le \sqrt{R^2 - r^2}.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Logo, a massa é
m = \rho_{0}\,\pi \;\frac{R^4}{4} = \frac{\rho_{0}\,\pi\,R^4}{4}.
Passo 5
Interpretamos o resultado como a massa total do hemisfério sob a densidade \rho_{0}z. O procedimento exemplifica como se formula a integral tripla em um domínio tridimensional e se realiza troca de coordenadas para aproveitar a simetria.
Resposta
As principais aplicações de integrais triplas incluem cálculo de volume, massa com densidade variável, centro de massa, momento de inércia e carga elétrica total de distribuições volumétricas.
Como exemplo, a massa de um hemisfério de raio R com densidade \rho(x,y,z)=\rho_{0}z é