Exercício 46. Calcule \iint_{D} \exp \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \exp\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde a região D é o disco de raio 3 centrado na origem, isto é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 9\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \exp\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • A região de integração é o disco de raio 3 (círculo fechado) centrado em (0,0).
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla sobre esse disco.

Passo 2

Por causa da simetria radial (a integranda depende de x e y apenas através de x^{2}+y^{2}), é conveniente mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares define-se:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geq 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar. Nessas coordenadas a expressão x^{2}+y^{2} fica simplesmente r^{2}:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 3

Ao trocar de variáveis para (r,\theta) é preciso usar o fator de escala (Jacobiano) que transforma o elemento de área dx\,dy em r\,dr\,d\theta. A matriz Jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
cujo determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto dx\,dy = r\,dr\,d\theta.]

Passo 4

A região D em polares corresponde a 0\leq r\leq 3 e 0\leq \theta\leq 2\pi. Substituindo na integral obtemos
\iint_{D} \exp\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \exp\left(r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral interior em r usando a substituição u=r^{2}. Definindo
u=r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
Os limites em r são r=0\mapsto u=0 e r=3\mapsto u=9. Assim
\int_{0}^{3}\exp\left(r^{2}\right)\,r\,dr = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{9}e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Passo 6

Agora integramos em \theta. Substituindo o resultado do passo anterior:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} \exp\left(r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\bigl(e^{9}-1\bigr)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{9}-1\bigr)\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Resposta

\pi\left(e^{9}-1\right)

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