Exercício 46. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o disco de raio
centrado na origem, isto é
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - A região de integração é o disco de raio
(círculo fechado) centrado em . - O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla sobre esse disco.
Passo 2
Por causa da simetria radial (a integranda depende de
e
apenas através de
), é conveniente mudar para coordenadas polares. Em coordenadas polares define-se:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo polar. Nessas coordenadas a expressão
fica simplesmente
:
Passo 3
Ao trocar de variáveis para
é preciso usar o fator de escala (Jacobiano) que transforma o elemento de área
em
. A matriz Jacobiana é
cujo determinante é
Portanto
.]
Passo 4
A região
em polares corresponde a
e
. Substituindo na integral obtemos
Passo 5
Calcule a integral interior em
usando a substituição
. Definindo
Os limites em
são
e
. Assim
Passo 6
Agora integramos em
. Substituindo o resultado do passo anterior: